专练23　正弦定理和余弦定理、解三角形.docx

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专练23正弦定理和余弦定理、解三角形

命题范围：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、解三角形．

[基础强化]

一、选择题

1．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝eq\r(2)，b＝eq\r(3)，B＝eq\f(π,3)，则A＝()

A．eq\f(π,6)B．eq\f(5,6)π

C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,4)或eq\f(3,4)π

2．在△ABC中，b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形解的情况是()

A．有一解

B．有两解

C．无解

D．有解但解的个数不确定

3．[2022·安徽省江南十校一模]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(2b－eq\r(3)c)·cosA＝eq\r(3)acosC，则角A的大小为()

A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)

C．eq\f(π,3)D．eq\f(5π,12)

4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为()

A．eq\f(1,2)B．1

C．eq\r(3)D．2

5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝eq\f(2,3)，则b＝()

A．14B．6

C．eq\r(14)D．eq\r(6)

6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．不确定

7．钝角三角形ABC的面积是eq\f(1,2)，AB＝1，BC＝eq\r(2)，则AC＝()

A．5B．eq\r(5)

C．2D．1

8．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()

A．50eq\r(2)mB．50eq\r(3)m

C．25eq\r(2)mD．eq\f(25\r(2),2)m

9．[2022·陕西省西安中学模拟]△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b2＋c2－a2＝bc，bcosC＋ccosB＝2，则△ABC的面积的最大值为()

A．1B．eq\r(3)

C．2D．2eq\r(3)

二、填空题

10．[2021·全国乙卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为eq\r(3)，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝____________．

11．[2022·安徽舒城中学模拟]托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．

12．[2022·陕西省西安中学二模]△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为eq\f(a2＋b2－c2,4)，则C＝________．

[能力提升]

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()

A．a＝2bB．b＝2a

C．A＝2BD．B＝2A

14．[2021·全国甲卷]2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰必威体育精装版高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B,C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(eq\r(3)≈1.732)()

A.346B．373

C．446D．473

15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△AB