人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第8章 立体几何初步 8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定定理 (2).docVIP

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8.6.3平面与平面垂直

第1课时平面与平面垂直的判定定理

课后·训练提升

基础巩固

1.从空间一点P向二面角α-l-β的两个半平面α,β所在的平面分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则该二面角的平面角的大小为()

A.60° B.120° C.60°或120° D.不确定

答案：C

2.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于点A,B),PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为()

A.60°

B.30°

C.45°

D.15°

答案：C

解析：由题意,易知∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.

在Rt△PAC中,PA=AC,所以∠PCA=45°.

3.如图,在四面体P-ABC中,PA=PB=PC,△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,O为AB的中点.下列说法错误的是()

A.平面PAB⊥平面ABC

B.平面PAB⊥平面POC

C.平面POC⊥平面ABC

D.平面PCA⊥平面PCB

答案：D

解析：因为PA=PB,AC=BC,O为AB的中点,所以PO⊥AB,CO⊥AB.

又PO∩CO=O,所以AB⊥平面POC.

又AB?平面PAB,AB?平面ABC,所以平面PAB⊥平面POC,平面POC⊥平面ABC.故B,C正确.

因为△ABC为等腰直角三角形,O为AB的中点,

所以AO=CO.

又PA=PC,所以△PAO≌△PCO,所以∠POA=∠POC=90°,即PO⊥CO.

又PO⊥AB,AB∩CO=O,所以PO⊥平面ABC,

又PO?平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABC.

故A正确.故选D.

4.如图,四棱锥P-ABCD的底面为菱形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上,下列说法错误的是()

A.当且仅当E为PB的中点时,平面PBD⊥平面AEC

B.当E在棱PB上移动时,总有平面PBD⊥平面AEC

C.当且仅当E为PB的中点时,平面AEC⊥平面ABCD

D.若AE⊥PB,则平面AEC⊥平面PBC

答案：A

解析：因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.

又PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AC.

又PD∩BD=D,所以AC⊥平面PBD.

又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面PBD.

故当E在棱PB上移动时,总有平面PBD⊥平面AEC.

故A错误.故选A.

5.如图,将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折起,形成一个二面角,此时∠BAC=60°,则这个二面角大小是()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

答案：D

解析：如图,连接BC,则△ABC为等边三角形.

由题意可知,∠BDC为所求二面角的平面角.

设AD=a,则BC=AC=2a,BD=DC=a,

所以BC2=BD2+DC2,

所以∠BDC=90°.故选D.

6.如图,在四面体P-ABC中,△ABC与△PBC均为边长为2的正三角形,PA=3,D为PA的中点,则二面角D-BC-A的大小为.?

答案：60°

解析：如图,取BC的中点E,连接EA,ED,EP.

∵△ABC与△PBC均为边长为2的正三角形,

∴BC⊥AE,BC⊥PE.

又AE∩PE=E,∴BC⊥平面PAE.

又DE?平面PAE,∴BC⊥DE,

∴∠AED为二面角D-BC-A的平面角.

由题意,可知AE=PE=3,又D为PA的中点,

∴DE⊥PA,AD=12PA=3

∴sin∠AED=ADAE

显然∠AED为锐角,∴∠AED=60°,

即二面角D-BC-A的大小为60°.

7.如图,在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PC,AC的中点,BA=BC,PA⊥AC.

求证:平面BDE⊥平面PAC.

证明∵D,E分别为PC,AC的中点,∴DE∥PA.

又PA⊥AC,∴DE⊥AC.

∵BA=BC,E为AC的中点,∴BE⊥AC.

又BE∩DE=E,∴AC⊥平面BDE.

又AC?平面PAC,∴平面BDE⊥平面PAC.

8.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=3.

(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;

(2)求二面角A-BE-P的平面角的大小.

(1)证明：连接BD(图略),因为四边形ABCD是菱形,∠BCD=60°,所以△BCD是等边三角形.

因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.

又AB∥CD,所以BE⊥AB.

因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BE.

又PA∩AB=A,所以BE⊥平面PAB.

又BE?平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.

(2)解：由(1)知,BE⊥平面PAB,所以BE⊥PB.

又AB⊥BE,

所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.

在Rt△PAB中,tan∠PBA=PAA