人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第8章 立体几何初步 8.6 8.6.1 直线与直线垂直 (3).docVIP

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8.6空间直线、平面的垂直

8.6.1直线与直线垂直

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1.已知一正方体的平面展开图如图所示,则在这个正方体中,CN,BM所在直线所成的角为()

A.30° B.45°

C.60° D.90°

答案:C

解析:将平面展开图还原为正方体,如图,连接AN,AC,则AN∥BM,故∠ANC为CN,BM所在直线所成的角.

又△ANC为等边三角形,故∠ANC=60°,

即CN,BM所在直线所成的角为60°.

2.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AC1,BC1的中点,则以下结论不成立的是()

A.EF与BB1垂直

B.EF与BD所成的角为45°

C.EF与CD异面

D.EF与A1C1异面

答案:C

解析:显然EF∥AB,∵BB1⊥AB,∴EF⊥BB1,故A正确.∵EF∥AB,∴∠ABD为EF与BD所成的角,又∠ABD=45°,∴EF与BD所成的角为45°,故B正确.EF∥AB∥CD,故C错误.EF与A1C1异面,故D正确.

3.如图,正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等,E为PC的中点,则异面直线BE与PA所成的角的余弦值为()

A.33 B.

C.32 D.-

答案:A

解析:如图,连接AC,BD相交于点O,连接OE,则O为AC的中点.

因为E为PC的中点,所以OE∥PA,OE=12

所以∠OEB为异面直线BE与PA所成的角.

不妨设正四棱锥的棱长为1,

则OE=12PA=12,OB=12BD=22,BE=32

即异面直线BE与PA所成的角的余弦值为33

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是()

A.0°θ60° B.0°≤θ60°

C.0°≤θ≤60° D.0°θ≤60°

答案:D

解析:如图,连接CD1,AC,

因为CD1∥BA1,所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角,

即θ=∠D1CP.

当点P从D1向A运动时,∠D1CP从0°增大到60°,但当点P与D1重合时,CP∥BA1,这和CP与BA1为异面直线矛盾,所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°θ≤60°.

5.(多选题)如图,在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,则EF与AB所成的角的大小可以是()

A.15° B.30°

C.60° D.75°

答案:AD

解析:取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB且EG=12AB,FG∥CD且FG=1

由AB=CD,知EG=FG.

易知∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.

∵AB与CD所成的角为30°,

∴∠EGF=30°或150°.

由EG=FG,知△EFG为等腰三角形,

当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;

当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.

故EF与AB所成的角为15°或75°.

6.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN等于.?

答案:5

解析:取AD的中点P,连接PM,PN,则BD∥PM,AC∥PN.

∵异面直线AC与BD所成的角的大小为90°,

∴∠MPN=90°.

又PN=12AC=4,PM=1

∴MN=5.

7.如图,在正三棱柱ABC-ABC中,D为AB的中点,AC=AA=2,求证:CD⊥AB.

证明:如图,取BB的中点E,连接DE,CE.

因为D为AB的中点,E为BB的中点,所以DE∥AB,

所以∠CDE或其补角为异面直线CD与AB所成的角,

由题意得DE=2,CD=3,CE=5.因为CE2=CD2+DE2,所以∠CDE=90°.

所以异面直线CD与AB所成的角为90°,即CD⊥AB.

8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.

(1)求证:AD1∥平面DOC1.

(2)求异面直线AD1和OC1所成的角的大小.

(1)证明如图,连接D1C交DC1于点O1,连接OO1.

因为O,O1分别为AC,D1C的中点,

所以OO1∥AD1.

又OO1?平面DOC1,AD1?平面DOC1,

所以AD1∥平面DOC1.

(2)解由(1)知,OO1∥AD1,所以∠O1OC1或其补角为异面直线AD1和OC1所成的角,不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则O1C1=OO1=2,OC1=6,

所以cos∠O1OC1=(2

所以∠O1OC1=π6

即异面直线AD1和OC1所成的角的大小为π6.