2.2 直线与圆的位置关系【同步精讲】(解析版).docVIP

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第2章 圆与方程

第02讲直线与圆的位置关系

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课程标准

重难点

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想.

1.根据直线与圆的位置关系，弦长，半径，圆心到直线的距离三者中根据两个确定第三个

知识精讲

知识精讲

知识点一直线与圆的位置关系

1．直线与圆有三种位置关系

位置关系

交点个数

相交

有两个公共点

相切

只有一个公共点

相离

没有公共点

2．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断

位置关系

相交

相切

相离

公共点个数

两个

一个

零个

判定方法

几何法：设圆心到直线的距离d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))

d＜r

d＝r

d＞r

代数法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,?x－a?2＋?y－b?2＝r2))消元得到一元二次方程的判别式Δ

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

3.【疑难解读】

判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较

简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法．

能力拓展

能力拓展

考法01直线的倾斜角

例1已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系．

例1

【解析】(法一：代数法)

由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?x－7?2＋?y－1?2＝36，,x－2y＋5＝0))

消去y后整理，得5x2－50x＋61＝0.

∵Δ＝(－50)2－4×5×61＝1280＞0，

∴该方程组有两组不同的实数解，即直线l与圆C相交．

(法二：几何法)

圆心(7,1)到直线l的距离为d＝eq\f(|1×7－2×1＋5|,\r(12＋?－2?2))＝2eq\r(5).

∵d＜r＝6，∴直线l与圆C相交．

【跟踪训练】

1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是 ()

A．相交 B．相离

C．相交或相切 D．相切

【答案】C

【解析】直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)，而(－1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交．

2．已知点(a，b)在圆Cx2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则直线ax＋by＝r2与C的位置关系是()

A．相切B．相离C．相交D．不确定

【答案】C

【解析】由已知a2＋b2＞r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))，则d＜r，故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交.

【方法总结】

判断直线与圆位置关系的方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．

(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．

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课堂小结

1.知识体系

弦长问题直线

弦长问题

直线

与圆

的位

置关

系

位置关系

相交

相切

相离

距离问题

圆上点与直线

分层提分

分层提分

题组A基础过关练

1．圆C：被直线截得的最短弦长为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直线过定点，圆心，当直线与弦垂直时，弦长最短，，所以最短弦长为，故选：B．

2．已知直线y=x与圆O∶x2+y2=9交于A，B两点，则（）

A．6 B．5 C．4 D．2

【答案】A

【解析】圆O∶x2+y2=9圆心为原点，半径为3，

圆心在直线y=x上，

所以A，B两点的距离等于直径的长，

即，故选：A.

3．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（）

A．13米 B．14米 C．15米 D．16米

【答案】D

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，

设圆的方程为：，代入，则有，

故圆的方程为：，

令，则，故，

故选：D.

4．直线与圆交于、两点，则（）

A．2 B． C．6 D．

【答案】B

【解析】圆的标准方程为：，故，且圆的半径为，

圆心到直线的距离为，故，故选：B.

5．在平面直角坐标系中，直线与圆相切，则直线的方程可以是（）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】因为圆的圆心为，半径为；

对于A，圆心到直线的距离，正确；