2.2 直线与圆的位置关系【同步精讲】(解析版).docVIP

2.2 直线与圆的位置关系【同步精讲】(解析版).doc

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第2章 圆与方程

第02讲直线与圆的位置关系

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课堂小结

课程标准

重难点

1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.体会用代数方法处理几何问题的思想.

1.根据直线与圆的位置关系,弦长,半径,圆心到直线的距离三者中根据两个确定第三个

知识精讲

知识精讲

知识点一直线与圆的位置关系

1.直线与圆有三种位置关系

位置关系

交点个数

相交

有两个公共点

相切

只有一个公共点

相离

没有公共点

2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的判断

位置关系

相交

相切

相离

公共点个数

两个

一个

零个

判定方法

几何法:设圆心到直线的距离d=eq\f(|Aa+Bb+C|,\r(A2+B2))

d<r

d=r

d>r

代数法:由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax+By+C=0,?x-a?2+?y-b?2=r2))消元得到一元二次方程的判别式Δ

Δ>0

Δ=0

Δ<0

3.【疑难解读】

判断直线与圆的位置关系,一般常用几何法,因为代数法计算繁琐,书写量大,易出错,几何法则较

简洁,但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时,常用代数法.

能力拓展

能力拓展

考法01直线的倾斜角

例1已知直线l:x-2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y-1)2=36,判断直线l与圆C的位置关系.

例1

【解析】(法一:代数法)

由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?x-7?2+?y-1?2=36,,x-2y+5=0))

消去y后整理,得5x2-50x+61=0.

∵Δ=(-50)2-4×5×61=1280>0,

∴该方程组有两组不同的实数解,即直线l与圆C相交.

(法二:几何法)

圆心(7,1)到直线l的距离为d=eq\f(|1×7-2×1+5|,\r(12+?-2?2))=2eq\r(5).

∵d<r=6,∴直线l与圆C相交.

【跟踪训练】

1.直线x-ky+1=0与圆x2+y2=1的位置关系是 ()

A.相交 B.相离

C.相交或相切 D.相切

【答案】C

【解析】直线x-ky+1=0恒过定点(-1,0),而(-1,0)在圆上,故直线与圆相切或相交.

2.已知点(a,b)在圆Cx2+y2=r2(r≠0)的外部,则直线ax+by=r2与C的位置关系是()

A.相切B.相离C.相交D.不确定

【答案】C

【解析】由已知a2+b2>r2,且圆心到直线ax+by=r2的距离为d=eq\f(r2,\r(a2+b2)),则d<r,故直线ax+by=r2与圆C的位置关系是相交.

【方法总结】

判断直线与圆位置关系的方法

(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.

(2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.

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课堂小结

1.知识体系

弦长问题直线

弦长问题

直线

与圆

的位

置关

位置关系

相交

相切

相离

距离问题

圆上点与直线

分层提分

分层提分

题组A基础过关练

1.圆C:被直线截得的最短弦长为()

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】直线过定点,圆心,当直线与弦垂直时,弦长最短,,所以最短弦长为,故选:B.

2.已知直线y=x与圆O∶x2+y2=9交于A,B两点,则()

A.6 B.5 C.4 D.2

【答案】A

【解析】圆O∶x2+y2=9圆心为原点,半径为3,

圆心在直线y=x上,

所以A,B两点的距离等于直径的长,

即,故选:A.

3.一座圆拱桥,当水面在如图所示位置时,拱顶离水面2米,水面宽12米,当水面下降2米后,水面宽是()

A.13米 B.14米 C.15米 D.16米

【答案】D

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则,,

设圆的方程为:,代入,则有,

故圆的方程为:,

令,则,故,

故选:D.

4.直线与圆交于、两点,则()

A.2 B. C.6 D.

【答案】B

【解析】圆的标准方程为:,故,且圆的半径为,

圆心到直线的距离为,故,故选:B.

5.在平面直角坐标系中,直线与圆相切,则直线的方程可以是()

A. B. C. D.

【答案】ACD

【解析】因为圆的圆心为,半径为;

对于A,圆心到直线的距离,正确;

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