建立模型计算太阳影子长度和梯度下降法拟合太阳影子数据定位全国大学生数学建模竞赛a题论文学位论文.docVIP

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建立模型计算太阳影子长度和梯度下降法拟合太阳影子数据定位

摘要

本文建立了一个较为理想的几何立体模型来计算某个日期，某个时间，某个纬度的太阳高度角，从而计算太阳照射直杆的影长。并且通过对一系列按时间变化记录的数据以及部分已知参数，利用梯度下降法进行曲线拟合样本数据点，以此求出相应的未知的参数，算出数据记录时所在的可能的地点经纬度和日期。

关键词：几何立体模型拟合曲线梯度下降法

正文

建立太阳光照射地球，地球上垂直地面杆的影长模型

假设太阳光线完全平行，地球是完全标准的球体，地球公转轨道是标准圆形，且随日期变化匀速运转。

1.1建立太阳光线和地球上某一纬度β的上某点X切面所形成的太阳高度角模型

O为地球球心。设太阳光线和地球的赤道面形成的角度为∠EOC=α，纬度即∠BOA=β，根据纬度的定义显然OB是β纬度上X点的切面（即X点地面）的法向量方向。X点的经度和太阳垂直照射点所在的经度的夹角即∠AOC为Θ（可以由该点的真实时间计算得到，地球每小时自转15°，Θ=（该点真实时间-12）*15）。欲求太阳在X点的高度角，相当于求X点地面法向量方向OB和太阳光线的夹角∠BOE的余角。假设太阳高度角为γ，则sinγ=cos∠BOE。

如图作AC⊥OC，作EC和BA垂直于赤道面，BD⊥CE于D。

设OA长为z，则OB=z/cosβ，

OE=zcosΘ/cosα，

BD=AC=zsinΘ，

CD=AB=ztanβ，

CE=zcosΘtanα。

DE=CE-CD=zcosΘtanα-ztanβ。

BE2=BD2+DE2=（zsinΘ）2+（zcosΘtanα-ztanβ）2。

根据余弦定理可得，

经化简可得：

cos∠BOE=sinαsinβ+cosαcosβcosΘ。

即sinγ=sinαsinβ+cosαcosβcosΘ

用反三角函数即可知太阳高度角γ。

1.2建立太阳光线和地球赤道面所成角度α随日期变化的模型

如图，如果不考虑地球自转，则随着公转，太阳直射点将在地球上画出一个圆，这个圆所在的平面即为回归面。设A点为夏至日（6月22日）的直射点，此时∠AOB=N=23°26′，随着日期推移，直射点移到点C，则此时∠COD=α正是我们所要求的太阳光线和地球赤道面所成的角，而∠AOC则是日期相对6月22日（公转导致）移动所形成的夹角，所以∠AOC=相对6月22日天数差距/365*π(闰年为366)，其中比6月22日小则天数差距为负值。

易证，赤道面和回归面的二面角大小为N=23°26′，平面AOB⊥赤道面，平面COD⊥赤道面。

所以该问题可以转化为如下图所示的情形。即一个二面角∠A’OB’大小为N，垂直于二面角∠A’OB’其中一个面B’OD’的面C’OD’，求C’OD’被这个二面角所夹出来的∠C’OD’（即∠α）大小。

图中△A’OB’，△A’OC’，△C’OD’为直角三角形。

C’D’=A’B’=OA’sinN，

OC’=OA’/cos∠A’OC’，

∴sinα=C’D’/OC’=sinN*cos∠A’OC’

用反三角函数即可求得α。

1.3建立某太阳高度角γ下，杆影长的模型

由于杆影长大部分时候远小于地球的半径，所以不考虑地球地面的弯曲，当做地面为平面。则影长shadowlength=L*cotγ。其中L为杆长。

1.4北京时间和某一经度longitude真实时间的关系。

由于北京时间是以东经120°为基准计算的，所以该经度longitude上的真实时间应该为realtime=（longitude-120）/15+beijingtime(小时)，其中单位为小时和度，除以15因为地球每小时自转15°。

画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

根据上述模型，在MATLAB上编码得到该变化曲线。编码参照附录

3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

附件1得到不同时刻的影长数据，我们采用梯度下降的方法，去拟合出一条曲线尽可能符合附件1的数据。

根据模型，影长函数

shadowlength（L，α，β，Θ）=L*cotγ

=L*cot（arcsin（sinαsinβ+cosαcosβcosΘ））

α可由日期2015年4月18日计算得到。

每个数据样本都可以计算出对应的Θ。

设数据样本有n个，第