专题4.5 相似三角形的应用-重难点题型（举一反三）（北师大版）（解析版）.pdfVIP

专题4.5相似三角形的应用-重难点题型

【北师大版】

【知识点1相似三角形的应用】

在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似

三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模

型。

【题型1相似三角形的应用（九章算术）】

【例1】（2020秋•曾都区期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，

以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：

“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5

和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（）

2560100144

A．B．C．D．

17171717

【解题思路】根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论．

【解答过程】解：∵四边形CDEF是正方形，

∴CD＝ED，DE∥CF，

设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，

∵DE∥CF，

∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，

∴△ADE∽△ACB，

∴=，

5

∴=，

125

60

∴x=，

17

60

∴正方形CDEF的边长为．

17

故选：B．

【变式1-1】（2021•广西模拟）《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，

南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形

ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别位于AB，AD的中点，EG

⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH的长为（）

A．0.95里B．1.05里C．2.05里D．2.15里

【解题思路】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求

得答案即可．

【解答过程】解：EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，

∴FA∥EG，EA∥FH，

∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，

∴△GEA∽△AFH，

∴=，

∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，

∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，

154.5

∴=，

3.5

解得：FH＝1.05里．

故选：B．

【变式1-2】（2021春•苏州期末）我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井

深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几

何？”现在我们

可以解释为：如图，矩形BCDE的边BE、CD表示井的直径，A在CB的延长线上，CD＝5尺，AB＝5

尺，AD交BE于F，BF＝0.4尺，根据以上条件，可求得井深BC为57.5尺．

【解题思路】利用相似三角形的性质，构建方程求解即可．

【解答过程】解：设BC＝x尺．

∵四边形BCDE是矩形，

∴BF∥CD，

∴△AFB∽△ADC，

∴=，

0.45

∴=，

55