3.1 椭圆【同步精讲】（原卷版） (1).docVIP

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第3章 圆锥曲线与方程

第01讲椭圆

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课程标准

重难点

理解椭圆的定义与概念

2.掌握椭圆的几何意义

1.椭圆离心率的计算方法

2.椭圆与直线的位置关系

知识精讲

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知识点一椭圆的定义

平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．

(1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆；

(2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2；

(3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在．

知识点二椭圆的标准方程和几何意义

标准方程

(a＞b＞0)

(a＞b＞0)

图形

性质

范围

x∈[－a，a]，y∈[－b，b]

x∈[－b，b]，y∈[－a，a]

对称性

对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b,0)，B2(b,0)

离心率

e＝，且e∈(0,1)

a，b，c的关系

c2＝a2－b2

离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆越接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆.

知识点三常用结论

1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.

(1)(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；

(2)(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；

(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．

2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆(a＞b＞0)中

(1)当P为短轴端点时，θ最大．

(2)S＝|PF1||PF2|·sinθ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.

(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．

3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.

4．AB为椭圆(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则

(1)弦长l＝|x1－x2|＝|y1－y2|；

(2)直线AB的斜率kAB＝－.

能力拓展

能力拓展

考法01椭圆的定义及应用

例1(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()

例1

A. B.

C. D.

(2)已知F1，F2是椭圆C：(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.

(3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．

【跟踪训练】

1．在本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，则该椭圆的方程为________________．

2．(变条件)将本例(2)中的条件“⊥”“△PF1F2的面积为9”变为“∠F1PF2＝60°”，“＝3”，则b的值为________．

【方法总结】

椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．

考法02椭圆的标准方程

例2（1）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为()

例2

A. B.

C. D.

（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的方程为____________________．

(3)过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_____