《几何概型》参考教案1 (1).docVIP

课题：几何概型

教学目标

知识与技能：

1.了解几何概型的定义，掌握几何概型的概率公式.

2.会求简单的几何概型的概率问题.

3.通过模拟实验，感知应用数学解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯.

过程与方法：

1.发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力.

2.会用比较类比的方法学习新知识，提高学生的解题分析能力.

教学重点

关于几何概型的概率计算.

教学难点

准确确定几何区域D和与事件A对应的区域d，并求出它们的测度.

教学过程

引例：设有关于一元二次方程.

问题1.a是从0,1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.

解：设“方程有实根”为事件A.

要使得方程有实根，应有,得,

又，所以.

用(a,b)来表示a、b的取值情况，则基本事件总共有12个，其中满足事件A（即）的基本事件有9个，

问题2.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

【引入】问题2中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”还存在着,但是显然不能用古典概型的方法求解.那如何处理?几何概型将会给出一个漂亮的答案.由上面的推广过程，马上可以得到几何概型的特点：无限性、等可能性.这也将是我们认识几何概型的重要依据.

一、问题情境

1．转盘游戏

提问：两个转盘中，当转盘停止时，哪个转盘的指针指向红色区域的概率大？为什么？

2．实例

3m取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？若将1m变成0.5m

3m

小结：感觉几何概型概率的大小与事件对应区域的面积、线段的长度成正比的关系.

二、数学建构

几何概型定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.几何概型的本质特征：

1、将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型.2、有一个可度量的几何图形D.

3、试验B看成在D中随机地取一点.

4、事件A就是所取的点落在D中的可度量图形d中.

几何概型的计算：

一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率为:

注:

D的测度不能为0,其中“测度”的意义依D确定,当D分别为线段,平面图形,立体图形时,相应的“测度”分别为长度、面积、体积.

思考：

概率为0的事件一定是不可能事件吗？

概率为1的事件一定是必然事件吗？

三、数学应用

例1.取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入蓝色区域的概率.

分析:

方法1：做实验，重复的投掷豆子，统计掉入蓝色区域的次数，用频率去估计概率，当实验的次数足够多的时候，估计值越来越精确.

方法2：显然满足几何概型，可以直接利用公式计算，但蓝色区域是不规则的图形，我们可以先处理圆的面积，正方形的面积减去圆面积即得，当然也可利用对立事件的概率公式去计算.

解:记“豆子落入圆内”为事件A,“豆子落入蓝色区域”为事件B，显然A、B互为对立事件，

答:豆子落入圆内的概率为1－.

小结：当事件A对应的区域不好处理时，可以选择先求其对立事件的概率.

四、数学拓展

模拟撒豆子的实验估计圆周率

由例1发散可知，任意的正方形及其内切圆，若每颗豆子都可以落入正方形区域，则落入圆内的概率为P(A)=，如果向正方形内投掷n颗豆子，落入圆内的豆子m颗，有P(A)≈，由此，可以用这个办法来估计圆周率.

五、难点突破

例2（引例）设有关于一元二次方程.

若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

解：设“方程有实根”为事件A，所有基本事件构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}.

答：方程有实根的概率为.

小结：本题关键是如何正确找到事件A对应的区域d.

六、综合提高

如右图所示:向边长为2的正方形内随机地投飞镖，假设飞镖都能投入正方形内，且投到每个点的可能性相等，则飞镖落在阴影部分的概率是()

A． B．C．D．

小结：本题的关键是求事件A对应的区域的面积

七、回顾反思

本节课我们首先从游戏中提出问题，然后由特殊到一般去分析问题，再解决问题.

1.古典概型的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型.

2.几何概型的概率公式.

3.几何概型问题的概率的求解.

（1）准确的确定几何区域D与事件A对应的区域d，并求出它们的测度.

（2）事件A对应的区域如果不好处理，可