突破基础中档120分---元素个数与集合间的关系-解析版.docx

元素个数与集合间的关系

元素个数

知识与方法

1.考查点：集合元素的互异性，列举法表示集合.

2.涉及“点集”的问题，常常利用图象解决.

3.常用数集：实数集R，自然数集N、正整数集或、整数集Z，有理数集Q、空集.

题组一

1.（2020·新课标Ⅲ卷·文·1·★）

已知集合，，则中元素的个数为（）

A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】集合，中元素的个数为3

【答案】B

2.（★）

已知集合，，则集合中元素的个数为（）

A.5 B.4 C.3 D.2

【解析】，则，故中元素的个数为2

【答案】D

【提炼】当遇到不够直观的集合时，列几个元素出来观察规律就能理解了.

3.（★）

已知全集，集合，，则集合中元素的个数为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】或，

.

【答案】B

题组二

4.（★）

设集合，，，则M中元素的个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6

【解析】将集合M中a和b所有可能的组合列表如下：

a

b

1

2

3

4

5

6

7

5

6

7

8

所以.

【答案】B

【提炼】①表格法；②元素互异性.

5.（★）

已知集合，，则B中所含元素的个数为（）A.3 B.6 C.8 D.10

【解析】在集合B中，要满足，，可能的情况列表如下：

xy

1

2

3

4

5

1

0

1

2

3

4

2

0

1

2

3

3

0

1

2

4

0

1

5

0

结合知，，即集合B中的元素个数为10.

【答案】D

题组三

6.（★）

已知集合，则A中元素的个数为（）

A.9 B.8 C.5 D.4

【解析】注意到集合A是一个点集，表示的含义是圆内（含边界）的整点，也就是横、纵坐标都为整数的点，画出图形如图，由图可知圆内共有9个整点，故集合A中有9个元素.

【答案】A

【提炼】点集问题一般用数形结合处理.

7.（★）

已知集合，，则中元素的个数为（）

A.3 B.2 C.1 D.0

【解析】集合A表示圆上的点，集合B表示直线上的点，表示直线与圆的交点，那么只要画出这两条线，就可以知道它们有几个交点，这个题就搞定.如图，肉眼可见，有两个交点，因此集合有2个元素.

【答案】B

8.（2020·新课标Ⅲ卷·理·1·★）

已知集合，，则中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.6

【解析】，故中元素的个数为4.

【答案】C

【提炼】此题数形结合也可以，但是列举法是最容易理解的.

集合间的关系

知识与方法

关系

自然语言

符号语言

Venn图（维恩图）

子集

集合A中所有元素都在集合B中（即若，则）

（或）

或

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

（或）

集合相等

集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集

题组一

1.（★）

已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【解析】，即，在同一数轴上表示两个集合如下，由图可得.

【答案】B

【提炼】解一元二次不等式先考虑因式分解的方法，可以利用数轴表示集合之间的关系.

2.（★）

设，，则（）

A. B. C. D.

【解析】，，在同一数轴上表示两个集合如图，可得

【答案】B

题组二

3.（2020·上海（春）·1·★）

集合，.若，则_______.

【解析】且.

【答案】3

4.（★）

已知集合，集合.若，则实数_______.

【解析】或.

【答案】1

题组三

5.（★★★）

设集合，.若，则实数a，b必满足（）

A. B. C. D.

【解析】

或或.

如图，或，故或，即.

【答案】D

【提炼】遇到含有参数的集合，画数轴分析是很好的解决方法.

6.（★★★）

设集合，，则下列关系中成立的是（）

A. B. C. D.

【解析】考虑集合Q，相当于根据不等式对任意恒成立，求出m的取值集合即为Q.

当时，恒成立；

当时，恒成立等价于解得.

综上所述，，因为，所以.

【答案】A

【提炼】①一元二次式平方项含参时，要讨论参数是否为零；②一元二次不等式恒成立一般从开口和判别式两个角度考虑.

题组四

7.（★★）

已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】解法1：或，，因为，所以C中必有元素1和2，且C中不能有除1，2，3，4外的元素，故满足条件的集合C有，，，，共4个.

解法2：或，，问题等价于求集合的子集个数，答案为.

【答案】D

题组五

8.（★★）

已知互异的复数a，b满足，集合，则（）

A.2 B.1 C.0 D.

【解析】，或，若结合可解得，此时不满足集合元素互异性；若，两式相减得，a，b是互异的复数.

【答案】D

【提炼】当两个集合相等时，它们的元素对应相等，注意检验集合中元素的互