突破基础中档120分---元素个数与集合间的关系-解析版.docx

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元素个数与集合间的关系

元素个数

知识与方法

1.考查点:集合元素的互异性,列举法表示集合.

2.涉及“点集”的问题,常常利用图象解决.

3.常用数集:实数集R,自然数集N、正整数集或、整数集Z,有理数集Q、空集.

题组一

1.(2020·新课标Ⅲ卷·文·1·★)

已知集合,,则中元素的个数为()

A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】集合,中元素的个数为3

【答案】B

2.(★)

已知集合,,则集合中元素的个数为()

A.5 B.4 C.3 D.2

【解析】,则,故中元素的个数为2

【答案】D

【提炼】当遇到不够直观的集合时,列几个元素出来观察规律就能理解了.

3.(★)

已知全集,集合,,则集合中元素的个数为()

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】或,

.

【答案】B

题组二

4.(★)

设集合,,,则M中元素的个数为()A.3 B.4 C.5 D.6

【解析】将集合M中a和b所有可能的组合列表如下:

a

b

1

2

3

4

5

6

7

5

6

7

8

所以.

【答案】B

【提炼】①表格法;②元素互异性.

5.(★)

已知集合,,则B中所含元素的个数为()A.3 B.6 C.8 D.10

【解析】在集合B中,要满足,,可能的情况列表如下:

xy

1

2

3

4

5

1

0

1

2

3

4

2

0

1

2

3

3

0

1

2

4

0

1

5

0

结合知,,即集合B中的元素个数为10.

【答案】D

题组三

6.(★)

已知集合,则A中元素的个数为()

A.9 B.8 C.5 D.4

【解析】注意到集合A是一个点集,表示的含义是圆内(含边界)的整点,也就是横、纵坐标都为整数的点,画出图形如图,由图可知圆内共有9个整点,故集合A中有9个元素.

【答案】A

【提炼】点集问题一般用数形结合处理.

7.(★)

已知集合,,则中元素的个数为()

A.3 B.2 C.1 D.0

【解析】集合A表示圆上的点,集合B表示直线上的点,表示直线与圆的交点,那么只要画出这两条线,就可以知道它们有几个交点,这个题就搞定.如图,肉眼可见,有两个交点,因此集合有2个元素.

【答案】B

8.(2020·新课标Ⅲ卷·理·1·★)

已知集合,,则中元素的个数为()A.2 B.3 C.4 D.6

【解析】,故中元素的个数为4.

【答案】C

【提炼】此题数形结合也可以,但是列举法是最容易理解的.

集合间的关系

知识与方法

关系

自然语言

符号语言

Venn图(维恩图)

子集

集合A中所有元素都在集合B中(即若,则)

(或)

真子集

集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中

(或)

集合相等

集合A,B中元素完全相同或集合A,B互为子集

题组一

1.(★)

已知集合,,则()

A. B. C. D.

【解析】,即,在同一数轴上表示两个集合如下,由图可得.

【答案】B

【提炼】解一元二次不等式先考虑因式分解的方法,可以利用数轴表示集合之间的关系.

2.(★)

设,,则()

A. B. C. D.

【解析】,,在同一数轴上表示两个集合如图,可得

【答案】B

题组二

3.(2020·上海(春)·1·★)

集合,.若,则_______.

【解析】且.

【答案】3

4.(★)

已知集合,集合.若,则实数_______.

【解析】或.

【答案】1

题组三

5.(★★★)

设集合,.若,则实数a,b必满足()

A. B. C. D.

【解析】

或或.

如图,或,故或,即.

【答案】D

【提炼】遇到含有参数的集合,画数轴分析是很好的解决方法.

6.(★★★)

设集合,,则下列关系中成立的是()

A. B. C. D.

【解析】考虑集合Q,相当于根据不等式对任意恒成立,求出m的取值集合即为Q.

当时,恒成立;

当时,恒成立等价于解得.

综上所述,,因为,所以.

【答案】A

【提炼】①一元二次式平方项含参时,要讨论参数是否为零;②一元二次不等式恒成立一般从开口和判别式两个角度考虑.

题组四

7.(★★)

已知集合,,则满足条件的集合C的个数为()

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】解法1:或,,因为,所以C中必有元素1和2,且C中不能有除1,2,3,4外的元素,故满足条件的集合C有,,,,共4个.

解法2:或,,问题等价于求集合的子集个数,答案为.

【答案】D

题组五

8.(★★)

已知互异的复数a,b满足,集合,则()

A.2 B.1 C.0 D.

【解析】,或,若结合可解得,此时不满足集合元素互异性;若,两式相减得,a,b是互异的复数.

【答案】D

【提炼】当两个集合相等时,它们的元素对应相等,注意检验集合中元素的互

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