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第六章6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算
A级必备知识基础练
1.[探究点四]已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则()
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线
2.[探究点三](多选题)在△ABC中,AE=13AB,
A.AE=13(-a-b)
C.DE=13(b-a)
3.[探究点一](多选题)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使a|
A.2a=b B.a∥b
C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|
4.[探究点二·河南高一]化简:12(2a-b)-313a+b+2(a-2b)=.?
5.[探究点一]在四边形ABCD中,AB=3e,CD=-5e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状为.?
6.[探究点三]已知点P在线段AB上,且|AB|=4|AP|,设AP=λPB,则实数λ=.?
7.[探究点二]已知3(2a-b+c)+x=2(-a+3b),求x(用a,b,c表示).
B级关键能力提升练
8.(多选题)已知e1,e2是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的是()
A.a=5e1,b=7e1
B.a=12e1-13e2,b=3e1
C.a=e1+e2,b=3e1-3e2
D.a=e1-13e2,b=3e1-e
9.(多选题)[吉林高一校考期末]已知A,B,C是三个不同的点,OA=a-b,OB=2a-3b,OC=3a-5b,则下列结论正确的是()
A.AC=2AB B.AB
C.AC=3BC D.A,B,C三点共线
10.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一句话:三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论:①GH=2OG;②GA+GB+GC=0;③AH=2OD;④S△ABG=S△BCG
A.1 B.2 C.3 D.4
11.用向量运算刻画三角形的重心.
(1)已知△ABC,求一点G满足GA+
(2)求证:满足条件GA+GB+
12.如图,在四边形ABCD中,AD=2BC.
(1)用AB,AD表示
(2)若AE=2EB,DP=34
C级学科素养创新练
13.已知O,A,M,B为平面上四点,且向量OM=λOB+(1-λ)OA(λ∈R,λ≠0,且λ≠1).
(1)求证:A,B,M三点共线;
(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.
参考答案
6.1.4数乘向量
6.1.5向量的线性运算
1.ABD=BC+
2.AC因为AE=13
所以AB=AC+CB=-b-a,
所以AE=13AB=13
故选AC.
3.ACa|
对于A,当2a=b时,2a|
对于B,当a∥b时,可能有a=-b,此时a|
对于C,当a=2b时,a|
对于D,当a∥b且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时a|
结合选项,使a|
4.2a-152b12(2a-b)-313a+b+2(a-2b)=a-12b-a-3b+2a-4b=2a-
5.等腰梯形由已知可得AB=-35CD,所以AB∥CD,且|AB|≠|CD|.又|
所以四边形ABCD为等腰梯形.
6.13因为|AB|=4|AP|,所以P是线段AB的四等分点且靠近点A,因此AP
7.解因为3(2a-b+c)+x=2(-a+3b),
所以6a-3b+3c+x=-2a+6b,
即x=-8a+9b-3c.
8.ABD对于A,a与b显然共线;对于B,因为b=3e1-2e2=612e1-13e2=6a,故a与b共线;对于C,设b=3e1-3e2=k(e
9.ABD由题可得AB=OB-OA=a-2b,
∴AC=2AB,故A正确;AB=BC,故B正确;AC=2
由AC=2AB可得AC∥AB,故A,B,C三点共线,故D正确.
故选ABD.
10.D在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示:
对于②,根据三角形的重心性质得GA+GB+
对于①③,∵AH∥OD,∴△AHG∽△DOG,
∴AHOD
∴AH=2OD,GH=2OG,
对于④,过点G作GE⊥BC,垂足为E,则GEAN
∴△BGC的面积为S△BGC=12BC·GE=12BC×13×AN=13S△ABC.同理,S△AGC=S△AGB=13S
11.(1)解设点D,F分别是AB,BC的中点,连接CD,AF交于点G,则G为△ABC的重心,
延长CD到点E,使得DE=GD,连接AE,BE,BG,如图,
由向量加法的平行四边形法则,得GA+GB=
因为G为△ABC的重心,所以|CG|=2|GD|,
故CG=2GD,所以GA+G
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