重难点突破02 活用隐圆的五种定义妙解压轴题(五大题型).docx

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重难点突破02活用隐圆的五种定义妙解压轴题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一:隐圆的第一定义:到定点的距离等于定长 2

题型二:隐圆的第二定义:到两定点距离的平方和为定值 3

题型三:隐圆的第三定义:到两定点的夹角为90° 3

题型四:隐圆的第四定义:边与对角为定值、对角互补、数量积定值 4

题型五:隐圆的第五定义:到两定点距离之比为定值 4

03过关测试 6

活用隐圆的五种定义来妙解压轴题,关键在于理解和运用圆的五种基本性质。这五种定义包括:到定点的距离等于定长(定义圆)、到两定点距离的平方和为定值、到两定点的夹角为90°、边与对角为定值且对角互补、到两定点距离之比为定值。

解题时,首先要识别题目中的关键条件,看是否符合隐圆的某一定义。一旦确定,就可以利用圆的性质来简化问题,如利用直径所对的圆周角是直角、同弦所对的圆周角相等或互补等性质。通过逆用这些性质,可以找到隐形圆,进而利用圆的几何特征求解。这种方法能有效转化复杂问题,使解题过程更加清晰明了。

题型一:隐圆的第一定义:到定点的距离等于定长

【典例1-1】已知是单位向量,,若向量满足,则的取值范围是(????)

A. B. C. D.

【典例1-2】已知单位向量与向量垂直,若向量满足,则的取值范围为(????)

A. B. C. D.

【变式1-1】如果圆上总存在两个点到原点的距离为,则实数的取值范围是(????)

A. B.

C. D.

【变式1-2】设,过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点,则的取值范围是(????)

A. B. C. D.

【变式1-3】设,过定点的动直线和过定点的动直线交于点,则的最大值是(????)

A.4 B.10 C.5 D.【变式1-4】设,过定点的动直线和过定点的动直线交于点,则的值为(????)

A.5 B.10 C. D.

题型二:隐圆的第二定义:到两定点距离的平方和为定值

【典例2-1】在平面直角坐标系中,为两个定点,动点在直线上,动点满足,则的最小值为.

【典例2-2】(2024·江苏盐城·三模)已知四点共面,,,,则的最大值为.

【变式2-1】已知圆,点,设是圆上的动点,令,则的最小值为.

【变式2-2】已知圆:,点,.设是圆上的动点,令,则的最小值为.

【变式2-3】正方形与点在同一平面内,已知该正方形的边长为1,且,则的取值范围为.

题型三:隐圆的第三定义:到两定点的夹角为90°

【典例3-1】已知向量,,满足,,与的夹角为,,则的最大值为.

【典例3-2】已知向量为单位向量,且,若满足,则的最大值是.

【变式3-1】已知点,,若圆上存在点,使得,则实数的最大值是(????)

A.4 B.5 C.6 D.7

【变式3-2】已知圆:和点,若圆上存在两点,使得,则实数的取值范围是.

题型四:隐圆的第四定义:边与对角为定值、对角互补、数量积定值

【典例4-1】已知是平面向量,,若非零向量与的夹角为,向量满足,则的最小值是.

【典例4-2】设向量满足,,,则的最大值等于()

A.4 B.2 C. D.1

【变式4-1】(2024·天津·一模)如图,梯形中,,E和分别为AD与的中点,对于常数,在梯形的四条边上恰好有8个不同的点,使得成立,则实数的取值范围是

A. B.

C. D.

【变式4-2】(2024·广东广州·一模)在平面四边形中,连接对角线,已知,,,,则对角线的最大值为.

题型五:隐圆的第五定义:到两定点距离之比为定值

【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现:已知平面内两个定点及动点,若(且),则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆(简称“阿氏圆”).在平面直角坐标系中,已知,直线,直线,若为的交点,则的最小值为(????)

A. B. C. D.

【典例5-2】(2024·江西赣州·模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为,那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,圆、点和点,M为圆O上的动点,则的最大值为(????)

A. B. C. D.

【变式5-1】(2024·湖南·模拟预测)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值()的点的轨迹是

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