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2.1.1合情推理
一、三维目标:
(一)知识与能力:
通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理这种基本的分析问题法,认识归纳推理和类比推理这两种合情推理的基本方法,并把它们用于对问题的发现中去。
明确归纳推理的一般步骤和类比推理的一般步骤,并把这些方法用于实际问题的解决中去。
(二)过程与方法:
归纳推理是从特殊到一般的推理方法,通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。
类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质,类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。
(三)情感态度与价值观:
正确认识合情推理在数学中的重要作用,养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质,善于发现问题,探求新知识。
认识数学在日常生产生活中的重要作用,培养学生学数学,用数学,完善数学的正确数学意识。
二、教学重点:了解合情推理的含义,能利用归纳和类比进行简单的推理。
三、教学难点:用归纳和类比进行推理,做出猜想。
四、教具准备:多媒体课件、与教材内容相关的资料。
五、课时安排:1课时
六、教学过程:
【问题探究:】
已知数列的通项公式,记,试通过计算的值,推测出的值。
若数列为等差数列,且,则。现已知数列为等比数列,且,类比以上结论,可得到什么结论?你能说明结论的正确性吗?
【学生讨论:】(学生讨论结果预测如下)
(1)
由此猜想,
(2)结论:
证明:设等比数列的公比为,则,所以
所以
【学生回答:】(学生思考并回答)
【归纳总结:】(学生回答后归纳总结)
教师总结:一、归纳推理
我们再看几个类似的推理实例:
1.蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的.
因为蛇,鳄鱼,海龟,蜥蜴都是爬行动物,所以我们猜想所有的爬行动物都是用肺呼吸的.
2.三角形的内角和是,凸四边形的内角和是,凸五边形的内角和是.
由此我们猜想:凸边形的内角和是.
3.,由此我们猜想:(a,b,m均为正实数).
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者从个别事实中推演出一般性的结论的推理,称为归纳推理(简称:归纳).
归纳推理的一般步骤:
(1)对有限的资料进行观察、分析、归纳整理;
(2)提出带有规律性的结论,即猜想;
(3)检验猜想.
二、类比推理
根据等式的性质猜想不等式的性质.
等式与不等式有不少相似的属性,例如:
(1);
(2);
(3).
问这样猜想出的结论是否一定正确?
上述几个例子均是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理(reasoningbyanalogy),简称类比法.
类比推理的一般步骤:
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;
(3)检验猜想,归纳推理的思维过程.
七、教学小结:
归纳推理是由部分到整体,从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。
归纳推理的一般步骤:
通过观察个别情况发现某些相同的性质。
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想)。
类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。
类比推理的一般步骤:
找出两类事物之间的相似性或者一致性。
用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)。
八、双基练习:
已知,经计算:,推测当时,有__________________________.
已知:,。观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并证明之。
观察(1)
(2)。
由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论。
在中,若请在空间中类比给出四面体性质的猜想。
在中,若则的外接圆半径,把此结论类比到空间,写出类似的结论。
若,则不等式成立。此不等式能推广吗?请你至少写出两个不同类型的推广。
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