期中专题02 空间向量与立体几何大题综合（40题）（原卷版 ）_1.docx

期中专题02空间向量与立体几何大题综合

备考秘籍

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空间中的平行关系

线线平行

线面平行的判定定理：

平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行

线面平行的性质定理

若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行

面面平行的判定定理

判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行

判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行

面面平行的性质定理

性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面

性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行

空间中的垂直关系

线线垂直

线面垂直的判定定理

一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直

线面垂直的性质定理

性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线

性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行

面面垂直的判定定理

一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）

面面垂直的性质定理

两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面

异面直线所成角

=

（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）

直线与平面所成角，(为平面的法向量).

二面角的平面角

（，为平面，的法向量）.

点到平面的距离

（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.

真题训练

真题训练

一、解答题

1．（2021秋·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期中）在如图所示的六面体中，矩形平面，为直角梯形，，，．设为中点．

(1)证明：平面；

(2)求三棱锥的体积．

2．（2022秋·湖南长沙·高二雅礼中学校考期中）如图，四棱台中，上底面是边长为1的菱形，下底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD且

(1)求证：平面平面；

(2)若直线AB与平面所成角的正弦为，求棱台的体积．

3．（2021秋·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点E，F分别是上的动点，且.

(1)求证：平面；

(2)若，且与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.

4．（2021秋·山东济南·高二山东师范大学附中校考期中）已知正三棱柱的底面边长为2，D是的中点，

(1)求三棱柱的体积

(2)求直线与平面所成角的正弦值

5．（2022秋·山东·高二山东省实验中学校考期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，与平面所成角为30°，为上一点且．

(1)证明：；

(2)设平面与平面的交线为，在上取点使，为线段上一动点，求平面与平面夹角的正弦值的最小值．

6．（2022秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期中）如图，在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点．

(1)试用，表示向量；

(2)若，，，，，求的值．

7．（2022秋·福建厦门·高二厦门一中校考期中）如图，在四棱锥中，，，，和均为边长为的等边三角形

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

8．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考期中）如图，四棱锥中，，，，平面CDP，E为PC中点.

(1)证明：平面PAD；

(2)若平面PAD，，求三棱锥的体积.

9．（2022秋·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，分别是线段的中点，是线段上的一点

(1)若是线段的中点，试证明平面；

(2)已知直线与平面所成角为.

①若和的面积分别记为，试求的值；

②求三棱锥的体积.

10．（2021秋·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期中）如图，已知为圆锥底面的直径，点在圆锥底面的圆周上，，，平分，是上一点，且平面平面.

（1）求证：；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

11．（2021秋·湖南长沙·高二长郡中学校考期中）如图，在四棱锥中，平面平面，．

(1)求证：平面；

(2)若直线与底面所成的角的正切值为，求二面角的正切值．

12．（2021秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，四棱锥中，为等边三角形，平面底面，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点.

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值.

13．（2021秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，已知直四棱柱中，底面是菱形，，，是的中点，是的中点.

(1)求异面直线和所成角的余弦值；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

14．（2022秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）在斜棱柱中，，，．

(1)证明：在底面ABC上的射影是线段BC的中点．

(2)点P在棱上一点，若二面角的正弦值为，确定点位置并说明理由．

15．（2022秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）如图，P为圆