人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 6.2.4 第1课时 向量数量积的物理背景及其含义.docVIP

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6.2.4向量的数量积

第1课时向量数量积的物理背景及其含义

课后·训练提升

1.已知a,b为单位向量,a与b的夹角为60°,则a·b=()

A.12 B.3

C.1 D.-1

答案:A

解析:a·b=1×1×cos60°=12

2.若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角θ为45°,则m·n=()

A.12 B.122

C.-122 D.-12

答案:B

解析:由已知条件得m·n=|m||n|cosθ=4×6×22=122

3.(多选题)下列说法正确的是()

A.向量a在向量b上的投影向量可表示为a

B.若a·b0,则a与b的夹角θ的取值范围是(π2

C.若△ABC是等边三角形,则AB,

D.若a·b=0,则a⊥b

答案:AB

解析:A,B正确;C中,AB,

4.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,且e是与b方向相同的单位向量,则向量a在向量b方向上的投影向量为()

A.-4e B.4e

C.-2e D.2e

答案:A

解析:根据投影向量的定义,设a,b的夹角为θ,可得向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cosθe=a·

5.已知|a|=10,|b|=12,且3a·15

A.60° B.120°

C.135° D.150°

答案:B

解析:设a与b的夹角为θ.

由3a·15

即|a||b|cosθ=-60,已知|a|=10,|b|=12,解得cosθ=-12

又0°≤θ≤180°,故夹角θ为120°.

6.已知平面上三点A,B,C,满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB·

A.-7 B.7

C.25 D.-25

答案:D

解析:由条件知∠ABC=90°,

所以原式=0+4×5×cos(180°-C)+5×3×cos(180°-A)=-20cosC-15cosA=-20×45-15×3

7.已知|b|=3,向量a在向量b方向上的投影向量为32

A.3 B.92

C.2 D.1

答案:B

解析:设a与b的夹角为θ.

∵|a|cosθe=32e,即|a|cosθ=3

∴a·b=|a||b|cosθ=3×32

8.在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,则向量AB与向量BC的夹角为.

答案:135°

9.已知a,b的夹角为θ,|a|=2,|b|=3,若a⊥b,则a·b=.?

答案:0

10.已知在△ABC中,AB=AC=4,AB·AC=8,则△ABC的形状是

答案:等边三角形

解析:AB·AC=|AB||AC|cos

即8=4×4×cos∠BAC,于是cos∠BAC=12

因为0°∠BAC180°,所以∠BAC=60°.

又AB=AC,故△ABC是等边三角形.

11.已知a·b=-9,向量a在向量b上的投影向量为-3e1(e1是与b方向相同的单位向量),向量b在向量a上的投影向量为-32e2(e2

解:由题意可知|

∴a

∴|

∴cosθ=a·b|

又θ∈[0,π],∴θ=2π3

12.如图,已知△ABC是等边三角形.

(1)求向量AB与向量BC的夹角;

(2)若点E为BC的中点,求向量AE与

解:(1)∵△ABC为等边三角形,

∴∠ABC=60°.

如图,延长AB至点D,使AB=BD,则AB=

∴∠DBC为向量AB与向量BC的夹角.

又∠DBC=120°,

∴向量AB与向量BC的夹角为120°.

(2)∵点E为BC的中点,

∴AE⊥BC,

∴AE与