人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理的综合应用.docVIP

第PAGE6页共NUMPAGES8页

6.4.3余弦定理、正弦定理

第4课时余弦定理、正弦定理的综合应用

课后·训练提升

基础巩固

1.在△ABC中,若sinAa

A.30° B.45°

C.60° D.90°

答案:B

解析:由正弦定理得sinAa

则cosC=sinC,即C=45°.

2.在△ABC中,已知b+c=2+1,C=45°,B=30°,则()

A.b=1,c=2

B.b=2,c=1

C.b=22,c=1+2

D.b=1+22,c=

答案:A

解析:∵b+csinB+sinC=bsinB=

3.在△ABC中,已知a=3,b=5,sinA=13

A.15 B.5

C.53

答案:B

解析:在△ABC中,由正弦定理asinA=b

4.在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=3bsinA,则sinB=()

A.3 B.33

C.63 D.-

答案:B

解析:因为a=2RsinA,b=2RsinB(R为△ABC外接圆的半径),

又a=3bsinA,

所以sinA=3sinBsinA,故sinB=33

5.在△ABC中,已知A=60°,a=13,则a+b+csinA+sinB+sinC

A.833 B.

C.2633

答案:B

解析:由a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R为△ABC外接圆的半径),

得a+b+csinA+sinB+sinC=2R=a

6.下列判断三角形解的情况中,正确的是(填序号).?

①a=8,b=16,A=30°,有两解;

②b=18,c=20,B=60°,有一解;

③a=15,b=2,A=90°,无解;

④a=40,b=30,A=120°,有一解.

答案:④

解析:①中a=bsinA,有一解;②中csinBbc,有两解;③中A=90°且ab,有一解;④中ab且A=120°,有一解.综上,④正确.

7.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=23,则△ABC的面积等于.?

答案:23

解析:在△ABC中,根据正弦定理,得ACsinB=BC

因为0°B120°,所以B=90°,所以C=30°,

所以△ABC的面积S△ABC=12·AC·BC·sinC=23

8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=2,A=60°,则角B=,△ABC的面积是.?

答案:45°3+

解析:由正弦定理asinA=b

∵ba,∴BA,∴B=45°.

∴C=180°-A-B=75°,

∴S△ABC=12absinC=1

9.在△ABC中,已知c=10,cosAcosB=b

解:由正弦定理知sinBsinA=ba

即sinAcosA=sinBcosB,

∴sin2A=sin2B.

又a≠b且A,B∈(0,π),

∴2A=π-2B,即A+B=π2

∴△ABC是直角三角形,且C=π2

由a2

∴内切圆的半径r=a+b-

10.如图所示,在四边形ABCD中,D=2B,且AD=1,CD=3,cosB=33

(1)求△ACD的面积;

(2)若BC=23,求AB的长.

解:(1)因为D=2B,cosB=33

所以cosD=cos2B=2cos2B-1=-13

又D∈(0,π),所以sinD=1-

因为AD=1,CD=3,

所以△ACD的面积S=12AD·CD·sinD=12×1×3×

(2)在△ACD中,因为AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cosD=12,所以AC=23.

又BC=23,所以∠B=∠CAB.

由正弦定理,得ACsinB

即23

能力提升

1.(多选题)在△ABC中,已知A=π3,BC=3,则下列选项中,可能是△

A.3 B.4

C.5 D.6

答案:BCD

解析:∵A=π3,∴B+C=2π

∴AC+AB=BCsinA(sinB+sinC)=332[

=2332sinB+

∵B∈0,2π3,∴

∴sinB+π6∈12

2.在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(3,-1),n=(cosA,sinA),若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,则角A,B的大小分别为()

A.π6,

C.π3,

答案:C

解析:∵m⊥n,∴3cosA-sinA=0,

∴tanA=3,又A∈(0,π),∴A=π3

由正弦定理及已知条件,得sinAcosB+sinBcosA=sin2C,

∴sin(A+B)=sin2C,

即sinC=1,∴C=π2,B=π

3.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acosC=4csinA,已知△ABC的面积等于10,b=4,则a的值为()

A.233 B.28

C.263 D.

答案:D