人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示--6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示.docVIP

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6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示

课后·训练提升

基础巩固

1.如果用i,j分别表示与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量,且A(2,3),B(4,2),则AB可以表示为()

A.2i+3j B.4i+2j

C.2i-j D.-2i+j

答案:C

解析:记O为坐标原点,则OA=2i+3j,OB=4i+2j,故AB=

2.已知向量AB=(2,4),AC=(0,2),则BC=()

A.(-2,-2) B.(2,2)

C.(1,1) D.(-1,-1)

答案:A

解析:BC=

3.(多选题)已知AB=(-2,4),则下列说法正确的是()

A.B点的坐标是(-2,4)

B.若a=AB,则a=(-2,4)

C.当B是原点时,A点的坐标是(-2,4)

D.当A是原点时,B点的坐标是(-2,4)

答案:BD

解析:当向量起点与原点重合时,向量坐标与向量终点坐标相同,故AC错误,D正确;因为相等的向量坐标相同,故B正确.

4.已知四边形ABCD为平行四边形,其中A(5,-1),B(-1,7),C(1,2),则顶点D的坐标为()

A.(-7,0) B.(7,6)

C.(6,7) D.(7,-6)

答案:D

解析:因为四边形ABCD为平行四边形,

所以AB=

设D(x,y),则有(-1-5,7+1)=(1-x,2-y),

即-6=1-

因此点D的坐标为(7,-6).

5.设与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底,设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(x∈R),则向量a对应的坐标位于()

A.第一、二象限 B.第二、三象限

C.第三象限 D.第四象限

答案:D

解析:因为x2+x+1=x+1

x2-x+1=x-

所以向量a对应的坐标位于第四象限.

6.如图,在?ABCD中,AC为一条对角线,若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD=.

答案:(-3,-5)

解析:BC=

BD=

7.作用于原点的两个力F1=(1,1),F2=(2,3),为使它们平衡,需加力F3=.

答案:(-3,-4)

解析:由题意可知F1+F2+F3=0,

故F3=-F1-F2=-(1,1)-(2,3)=(-3,-4).

8.已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且|AP|=|PB|,则点P的坐标为.?

答案:(1,-1)

解析:设点P的坐标为(x,y).

由题意知,当点P在线段AB上时,AP=

∴(x-3,y+4)=(-1-x,2-y),

∴x-3=

∴P点坐标为(1,-1);

当P在线段AB延长线上时,AP=-PB,

∴(x-3,y+4)=-(-1-x,2-y),

∴x-

综上所述,点P的坐标为(1,-1).

9.已知a=AB,点B的坐标为(1,0),b=(-9,12),c=(-2,2),且a=b-c,求点A的坐标.

解:∵b=(-9,12),c=(-2,2),

∴b-c=(-7,10),即a=(-7,10)=AB.

又B(1,0),设点A的坐标为(x,y),

则AB=(1-x,-y)=(-7,10),

∴1

∴x=8

即点A的坐标为(8,-10).

能力提升

1.如果将OA=32,12绕原点O逆时针方向旋转120°得到

A.(-12,32) B.(

C.(-1,3) D.(-32

答案:D

解析:如图,设OA绕原点O逆时针方向旋转120°得到的OB的坐标为(x,y),

则x=|OA|cos(120°+30°)=-32,y=|OA|sin(120°+30°)=1

故OB的坐标是(-32,

2.已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在∠AOB内,且∠AOC=45°,设OC=λOA+(1-λ)OB(λ∈R),则λ的值为()

A.15 B.1

C.25 D.

答案:C

解析:如图所示,因为∠AOC=45°,

所以设C(x,-x),则OC=(x,-x).

又A(-3,0),B(0,2),

所以λOA+(1-λ)OB=(-3λ,2-2λ),

所以x=-3λ,

3.已知点A(1,1),B12,32,且AB=(sinα,cosβ),α,β∈

答案:π6或-

解析:因为AB=

所以sinα=-12,cosβ=1

又α,β∈-π

所以α=-π6,β=π3或-

所以α+β=π6或-π

4.已知O是坐标原点,点A在第二象限,|OA|=2,∠xOA=150°,则向量OA的坐标为.?

答案:(-3,1)

解析:设OA=(m,n),

则m=|OA|cos150°=2×-32=-

n=|OA|sin150°=2×12

故OA的坐标为(-3,1).