人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 6.4.3 第2课时 正弦定理 (2).docVIP

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6.4.3余弦定理、正弦定理

第2课时正弦定理

课后·训练提升

基础巩固

1.在△ABC中,已知a=4,A=45°,B=60°,则边b的值为()

A.3+1 B.23+1 C.26 D.2+23

答案：C

解析：由已知及正弦定理,得4sin45

∴b=4sin60°sin45°

2.在△ABC中,已知A=60°,a=43,b=42,则B等于()

A.45°或135°

B.135°

C.45°

D.以上答案都不对

答案：C

解析：∵sinB=bsinAa

∴B=45°或135°.

又ab,∴AB,∴B=45°.

3.在△ABC中,已知A∶B∶C=4∶1∶1,则a∶b∶c等于()

A.4∶1∶1

B.2∶1∶1

C.2∶1∶1

D.3∶1∶1

答案：D

解析：∵A+B+C=180°,A∶B∶C=4∶1∶1,

∴A=120°,B=30°,C=30°.

由正弦定理的变形公式得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC

=sin120°∶sin30°∶sin30°

=32∶12

4.在△ABC中,已知B=60°,最大边与最小边的比为3+1

A.60° B.75° C.90° D.115°

答案：B

解析：不妨设a为最大边,c为最小边,

由题意有ac=sinA

整理得(3-3)sinA=(3+3)cosA.

∴tanA=2+3,又0°A120°,∴A=75°.

5.在△ABC中,已知B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长等于.?

答案：6

解析：由三角形内角和定理,知A=75°;

由边角关系,知B所对的边b为最小边;

由正弦定理bsinB=c

6.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,sinB=12,C=π6,则b=

答案：1

解析：在△ABC中,∵sinB=12,B∈(0,π),∴B=π6或B=

又B+Cπ,C=π6,∴B=π

∴A=π-π6

∵asinA=bsinB,

7.在△ABC中,已知AB=6,∠A=75°,∠B=45°,则AC=.?

答案：2

解析：由正弦定理可知ABsin[180

8.在△ABC中,已知A=2π3,a=3c,则bc=

答案：1

解析：在△ABC中,A=2π3,a=3

由正弦定理,得asinA

即3csin2π

由于ca,且C∈(0,π),

故C=π6,则B=π-2π

故△ABC是等腰三角形,B=C,则b=c,即bc

9.在△ABC中,若C=2B,则cb的取值范围为

答案：(1,2)

解析：因为A+B+C=π,C=2B,

所以A=π-3B0,所以0Bπ3

所以12

因为cb

所以12cosB2,故1cb

10.在△ABC中,已知acosA=b

解：令asinA

则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.

代入已知条件,得sinAcosA

即tanA=tanB=tanC.

又∵A,B,C∈(0,π),

∴A=B=C,∴△ABC为等边三角形.

能力提升

1.(多选题)在△ABC中,已知AB,则下列不等式中一定正确的是()

A.sinAsinB

B.cosAcosB

C.sin2Asin2B

D.cos2Acos2B

答案：ABD

解析：AB?ab?sinAsinB,故A中不等式一定正确.

由于在区间(0,π)内,函数y=cosx单调递减,

∴cosAcosB,故B中不等式一定正确.

取A=90°,B=45°,则sin2A=0,sin2B=1,有sin2Asin2B,故C中不等式不一定正确.

∵sinAsinB0,∴sin2Asin2B,

∴cos2Acos2B,故D中不等式一定正确.

2.在△ABC中,a=4,b=52

A.π6 B.π4 C.π

答案：A

解析：由5cos(B+C)+3=0,得cosA=35

∴A∈0,π2,∴

由正弦定理得asinA=b

∴sinB=12

又ab,∴AB,且A∈0,

∴B必为锐角,∴B=π6

3.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC三边长分别为a,b,c,则asinA+b

答案：7

解析：∵△ABC的外接圆直径为2R=2(R为△ABC外接圆的半径),

∴asinA

∴asinA

4.锐角三角形的内角分别是A,B,C,并且AB.则sinA+sinB和cosA+cosB的大小关系为.?

答案：sinA+sinBcosA+cosB

解析：在锐角三角形中,∵A+Bπ2,∴Aπ

函数y=sinx在区间0,π2

同理sinBcosA,故sinA+sinBcosA+cosB.

5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,