人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 6.4.3 第1课时 余弦定理 (2).docVIP

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6.4.3余弦定理、正弦定理

第1课时余弦定理

课后·训练提升

基础巩固

1.在△ABC中,已知a=2,则bcosC+ccosB等于()

A.1 B.2 C.2 D.4

答案：C

解析：bcosC+ccosB=b·a2+b

2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=7,b=3,c=2,则A=()

A.30° B.45° C.60° D.90°

答案：C

解析：∵a=7,b=3,c=2,

∴由余弦定理,得cosA=b2+c2-

3.在△ABC中,若a=8,b=7,cosC=1314

A.-15 B.-16 C.-1

答案：C

解析：由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=82+72-2×8×7×1314

所以c=3,故角A为△ABC的最大角.

所以cosA=b2+c

4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2-a

A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形

答案：C

解析：由c2-a

5.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为()

A.43 B.8-43 C.1 D.

答案：A

解析：由(a+b)2-c2=4,得a2+b2-c2+2ab=4,又由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC=2abcos60°=ab,故ab+2ab=4,得ab=43

6.在锐角三角形ABC中,若b=1,c=2,则a的取值范围是()

A.1a3

B.1a5

C.3a5

D.不确定

答案：C

解析：若a为最大边,则b2+c2-a20,即a25,

∴2a5;若c为最大边,则a2+b2c2,即a23,

∴3a≤2.故3a5.

7.已知a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2=.?

答案：0

解析：∵b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos120°=a2+c2+ac,∴a2+c2+ac-b2=0.

8.在△ABC中,若b=1,c=3,C=2π3,则a=

答案：1

解析：∵c2=a2+b2-2abcosC,

∴(3)2=a2+12-2a×1×cos2π3

即a2+a-2=0,解得a=1或a=-2(舍去).

∴a=1.

9.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-14,则b=

答案：4

解析：因为b+c=7,所以c=7-b.

由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,即b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×-1

10.在△ABC中,A+C=2B,a+c=8,ac=15,求b.

解：在△ABC中,∵A+C=2B,A+B+C=180°,

∴B=60°.

由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB=82-2×15-2×15×12

∴b=19.

11.在△ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,试求AC边上的中线长.

解：由余弦定理的推论,得cosA=AB2+AC2-BC22·AB·AC=

能力提升

1.在△ABC中,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B的值为()

A.π6 B.π

C.π6或

答案：D

解析：∵(a2+c2-b2)tanB=3ac,

∴a2+c

即cosB·tanB=sinB=32

∵B∈(0,π),∴角B的值为π3

2.在△ABC中,sin2A2=c

A.等边三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形

答案：B

解析：∵sin2A2=1-cosA2=c-b2c

∴△ABC为直角三角形.

3.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=23,cosA=32

A.2或4 B.2 C.4 D.22

答案：A

解析：由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,

∴4=b2+12-6b,即b2-6b+8=0,

∴b=2或b=4.

4.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是()

A.0,π3 B.π3

答案：A

解析：∵b2=ac,∴cosB=a2

又B是△ABC的内角,∴B∈0,

5.△ABC为钝角三角形,a=3,b=4,c=x,则x的取值范围是.?

答案：(1,7)∪(5,7)

解析：若x4,则角C为钝角,∴cosC=a2+b

若x4,则角B为钝角,∴cosB=a2

∴1x7.

∴x的取值范围是(1,7)∪(5,7).

6.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-23x+2=0的两根,2cos(A+B)=1,则角C的度数为,AB的长为