人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 (2).docVIP

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6.4.1平面几何中的向量方法

课后·训练提升

基础巩固

1.已知A,B,C,D四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为()

A.梯形 B.菱形

C.矩形 D.正方形

答案：A

解析：∵AB=(3,3),CD=(-2,-2),

∴AB=-32CD,∴

又|AB|≠|CD|,∴该四边形为梯形.

2.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,BF=2FO,则FD·

A.-3

B.-8

C.-1

D.-4

答案：B

解析：因为FD=FO+OD,

所以FD·FE=(FO+OD)·(FO+

3.在四边形ABCD中,若AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为()

A.5 B.25 C.5 D.10

答案：C

解析：∵AC·BD=0,∴AC

∴四边形ABCD的面积S=12|AC||BD|=1

4.已知在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD=()

A.1 B.2 C.3 D.4

答案：A

解析：建立平面直角坐标系,如图所示.

设AD=t(t0),则A(0,0),C(1,t),B(2,0),故AC=(1,t),BC=(-1,t).

由AC⊥BC,知AC·BC=-1+t

解得t=1,故AD=1.

5.在四边形ABCD中,AB=-CD,

A.平行四边形

B.矩形

C.等腰梯形

D.菱形

答案：D

解析：∵AB=-CD,即AB=

∴AB与DC平行且相等,

∴四边形ABCD是平行四边形.

又AC·BD=0,∴AC⊥

∴四边形ABCD是菱形.

6.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点E,F分别为BC,CD的中点,

则(AE+AF)·BD=

答案：-9

解析：如图,以A为坐标原点,以AB,

则A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(2,1).

∵点E,F分别为BC,CD的中点,

∴E2,

∴AE+

∴(AE+AF)·BD=3×(-2)+32

7.已知直线ax+by+c=0(a,b,c∈R,且a,b不同时为0)与圆x2+y2=1相交于A,B两点,若|AB|=3,则OA·OB=

答案：-1

解析：如图,作OD⊥AB于点D,

则在Rt△AOD中,OA=1,AD=32,所以∠AOD=60°,∠

所以OA·OB=|OA||OB|cos120°=1×1×-1

8.已知点A(-1,2),B(0,-2),且2|AD|=3|BD|,若点D在线段AB上,求点D的坐标.

解：设D(x,y),由题意知,2|AD|=3|BD|,

且点D在线段AB上,所以2AD=3DB,

即2(x+1,y-2)=3(-x,-2-y).

所以2x+2=-3x

故点D的坐标为-2

9.已知在正方形ABCD中,点E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.

求证:(1)BE⊥CF;(2)AP=AB.

证明：建立平面直角坐标系如图所示,设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).

(1)∵BE=(-1,2),CF=(-2,-1),

∴BE·CF=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,∴BE⊥

(2)设点P坐标为(x,y),则FP=(x,y-1),

FC=(2,1),∵FP∥FC,

∴x=2(y-1),即x=2y-2,

同理,由BP∥BE

∴点P的坐标为65

∴|AP|=652+

能力提升

1.在△ABC中,D为BC边的中点,已知AB=a,AC=b,则下列向量中与AD同向的是()

A.a+b|a+b| B.a|

答案：A

解析：AD=12

2.在△ABC中,AB=3,AC=2,BD=12

A.-52 B.52 C.-5

答案：C

解析：因为BD=12BC,所以点D是BC的中点,则

所以AD·BD=12(AB+AC)·12(AC-AB)=14(|AC

3.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若AB·AF=

A.2

B.2

C.0

D.1

答案：A

解析：∵AF=

∴AB·AF=AB·(AD+

∴|DF|=1,|CF|=2-1,

∴AE·BF=(AB+BE)·(BC+CF)=AB·

4.如图,设点P为△ABC内一点,且2PA+2PB+PC=0,则

A.15 B.25 C.1

答案：A

解析：设点D为AB的中点,连接PD(图略).

∵PA+PB=2PD=-

∴PD=-14PC,

∴△ABP的面积为△ABC的面积的15

5.(多选题)点O在△ABC所在的平面内,则以下说法正确的有()

A.若OA+OB+

B.若OA·AC|

C.若(OA+OB)·AB=(OB+OC)·

D.若OA·OB=

答案：AC

解析：选项A,设点D为BC的中