人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第8章 立体几何初步 8.3 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 (2).docVIP

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8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

课后·训练提升

基础巩固

1.若某圆锥的高等于其底面直径,则它的底面积与侧面积之比为()

A.1∶2 B.1∶3 C.1∶5 D.3∶2

答案：C

解析：设圆锥底面半径为r,则高h=2r,∴其母线长l=5r.

∴S侧=πrl=5πr2,又S底=πr2,∴S底∶S侧=1∶5.

2.把半径为R的半圆形纸片卷成一个圆锥,所得圆锥的体积是()

A.324πR3 B.38πR

C.524πR3 D.58

答案：A

解析：设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则l=R,2πr=12·2πR,∴r=R2.∴圆锥的高h=

∴圆锥的体积V=13·πr2·h=324πR

3.木星体积约是地球体积的24030倍,则它的表面积约是地球表面积的()

A.60倍 B.603倍 C.120倍 D.12030倍

答案：C

4.已知圆柱的底面周长为6cm,AC为底面圆的直径,母线BC=6cm,点P为母线BC上一点,且PC=23

A.4+6π

B.5cm

C.35cm

D.7cm

答案：B

解析：圆柱的侧面展开图如图所示.

∵圆柱的底面周长为6cm,

∴AC=3cm.

∵PC=23BC,∴PC=2

在Rt△ACP中,AP2=AC2+PC2,

∴AP=32

5.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为()

A.7 B.6 C.5 D.3

答案：A

解析：设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r.由S=π(r+3r)·3=84π,解得r=7.

6.已知圆台的上、下底面半径分别为r,R,若有一球与圆台的上、下底面及侧面相切,则球的表面积为()

A.4π(R+r)2

B.4πr2R2

C.4πRr

D.π(R+r)2

答案：C

解析：如图,作DE⊥BC,交BC于点E.设球的半径为r1,则在Rt△CDE中,DE=2r1,CE=R-r,DC=R+r.

由勾股定理得4r12=(R+r)2-(R-r)2,解得r1=

故球的表面积为S球=4πr1

7.如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b.那么圆柱被截后剩下部分的体积是.?

答案：π

解析：将剩下部分补成母线长为a+b的圆柱,则剩下部分的体积V=πr

8.圆柱内有一个内接长方体ABCD-A1B1C1D1,长方体的体对角线长是102cm,圆柱的侧面展开图为矩形,此矩形的面积是100πcm2,则圆柱的底面半径为cm,高为cm.

答案：510

解析：设圆柱底面半径为rcm,高为hcm,如图所示,

则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长,则:(

所以r=5

即圆柱的底面半径为5cm,高为10cm.

9.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.

解：该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,该组合体的体积V=43πr3+πr2l=43π×13+π×12×3=

10.某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用).已建的仓库的底面直径为12m,高为4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径增加4m(高不变);二是高度增加4m(底面直径不变).

(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;

(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;

(3)哪种方案更经济?

解：(1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V1,V2.

方案一:仓库的底面直径变成16m,则其体积V1=13×π×1622×4=256

方案二:仓库的高变成8m,则其体积V2=13×π×1222

(2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S1,S2.

方案一:仓库的底面直径变成16m,半径为8m,此时圆锥的母线长为l1=82+42=45(m),则仓库的表面积S1=π×8×(8+45)=(64+32

方案二:仓库的高变成8m,此时圆锥的母线长为l2=82

则仓库的表面积S2=π×6×(6+10)=96π(m2).

(3)因为V2V1,S2S1,

所以方案二比方案一更加经济.

能力提升

1.已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是162π,则圆锥的体积是()

A.64π3 B.128π3 C.64π D.128

答案：A

解析：设圆锥的底面半径为r,母线长为l,

因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形,

所以2r=2l,即l=2r.

由题意得,侧面积S侧=πrl=2πr2=162π,解得r=4.

所以l=42,高h=42