2021-2024北京重点校高一（上）期末汇编：函数与方程、不等式之间的关系.docx

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2021-2024北京重点校高一（上）期末汇编

函数与方程、不等式之间的关系

一、单选题

1．（2023北京高一上期末）函数的零点个数是（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题

2．（2024北京朝阳高一上期末）已知函数，为偶函数，且当时，，记函数，给出下列四个结论：

①当时，在区间上单调递增；

②当时，是偶函数；

③当时，有3个零点；

④当时，对任意，都有．

其中所有正确结论的序号是．

3．（2024北京丰台高一上期末）能说明“关于的不等式在上恒成立”为假命题的实数的一个取值为.

三、解答题

4．（2024北京西城高一上期末）已知函数，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使存在并且唯一，并完成下列问题.

(1)求的值；

(2)已知函数有两个不同的正数零点.

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）若，求的值.

条件①：；条件②：，；条件③：，.

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

5．（2021北京高一上期末）已知集合A是满足下列条件的函数的全体：在定义域内存在实数.使得成立.

（1）判断幂函数是否属于集合A，并说明理由；

（2）设，，若，求a的取值范围；

参考答案

1．D

【分析】分解因式求解方程的根.

【详解】函数的零点，即方程的实数根.

由解得，或.

故函数函数的零点个数是.

故选：D.

2．①③

【分析】根据题意，结合函数fx

【详解】因为为偶函数，且当时，，

当时，可得，所以，

对于①中，当时，，

令，解得，

如图所示，，

结合图象，可得函数在区间上单调递增，所以①正确；

??

对于②中，当时，可得，

令，即，解得或，

当时，可得；当时，可得；

当时，可得，

即，其中，所以，

所以当时，函数不是偶函数，所以②不正确；

对于③中，当时，令，即，解得，

当时，令gx=0，即，解得，

当时，令gx=0，即，解得或，

若时，函数有三个零点，分别为，和；

若时，即时，函数有三个零点，分别为，和；

若时，即时，函数有三个零点，分别为，和；

综上可得，当时，函数有三个零点，所以③正确；

对于④中，当时，令gx=0，即，解得，

将点代入函数y=fx，可得，解得，

如图所示，当时，函数，所以④不正确.

故答案为：①③.

??

3．（答案不唯一）

【分析】将关于的不等式在上恒成立问题转化为，从而得到的取值范围，命题为假命题时的取值范围是真命题时的补集，即可得的取值.

【详解】若不等式在上恒成立，则，

解得，

所以该命题为假命题时实数的取值范围是，

所以实数的一个取值为.

故答案为：（答案不唯一，只要满足“或”即可）.

4．(1)条件选择见解析，

(2)（i）；（ii）

【分析】（1）若选条件①②：先计算出的值，再根据对称轴求解出，则结果可知；若选条件①③：先计算出的值，再根据最小值确定出对称轴，所以可求，则结果可知，若选择②③，则根据二次函数的性质可知fx存在但不唯一；

（2）（i）先表示出，然后根据二次函数的零点分布列出不等式组，由此求解出的取值范围；（ii）根据以及（i）中的范围求解出的值.

【详解】（1）若选择条件②③：则根据二次函数的性质可知，存在fx

若选条件①②：

由①得，

由②得图象的对称轴为直线，

所以，所以，满足要求；

若选条件①③：

由①得，

由③得f1为的最小值，

所以对称轴，所以，满足要求.

（2）由（1）知，

所以；

（ⅰ）因为有两个不同的正数零点，

所以，

所以或，解得，

所以的取值范围是.

（ⅱ）因为，所以，

又因为，所以.

5．（1）,理由见解析；（2）

【解析】（1）令，得出方程，解出判断即可；

（2）先根据复合函数的单调性判断出的单调性，再根据得到，以及，化简得到，

令，根据的范围，求出的范围，原式等价于有一个根，求解即可.

【详解】解：（1）,理由如下：

令，

，

即，

化简得：，

解得：或，

即在定义域内存在实数，使得成立；

故；

（2），

在上单调递增，

在0,+∞上单调递增，

在上单调递增，

又，

在定义域内存在实数.使得成立，

即，

即，

又，

即，

即，

令，

又，

，

即，

化简得：，

即，

解得：，，

从而，原问题等价于，或，

解得：，

又，在上恒成立，

故，

综上所述：.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数元素的性质进行化简.