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中山市第一中学2027届高一第一学期第一次段考
数学
一?选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出最符合题目要求的一项)
1.命题“,都有”的否定是()
A.,都有B.,使得
C.,使得D.,使得
2.若集合,则等于()
A.B.
C.D.
3.下列图象中,表示定义域和值域均为的函数是()
A.B.
C.D.
4.设为的三条边长,则“”是“为等腰三角形”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.如图,是全集,是的子集,则阴影部分表示的集合是()
A.B.
C.D.
6.集合,则满足条件的集合的个数()
A.4B.7C.8D.16
7.关于的不等式,的解集中恰有2个整数,则实数的取值范围是()
A.B.
C.D.
8.已知正数满足,则的最大值为()
A.5B.6C.7D.8
二?多选题(本题共3小题,共18分.在每小题给出选项中,有多项符合题目要求).
9.已知关于的不等式的解集是,则()
A.B.
C.D.
10.对于实数,下列命题正确的是()
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
11.设是实数集的一个非空子集,如果对于任意的(与可以相等,也可以不相等),且,则称是“和谐集”则下列说法中为正确的是()
A.存在一个集合,它既是“和谐集”,又是有限集
B.集合是“和谐集”
C.若都是“和谐集”,则
D.对任意两个不同的“和谐集”,总有
三?填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)
12.已知函数则__________.
13.若函数,则的最小值为__________.
14.已知,若,则的最小值为__________.
四?解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本小题13分)
已知集合,集合.
(1)求集合;
(2)若,求实数的取值范围.
16.(本小题15分)
若正数满足.
(1)求的最大值;
(2)求的最小值.
17.(本小题15分)
已知二次函数的图象经过点和,且函数在上的最大值为4.
(1)求函数的解析式;
(2)若不等式对于一切实数均成立,求实数的取值范围.
18.(本小题15分)
已知函数.
(1)若,求在上的值域;
(2)若方程的两个根分别是,且,求实数的取值范围.
19.(本小题17分)
如图,某小区有一块五边形的空地,延长交的延长线于点,四边形为矩形,.为了合理利用该空地,在线段上取一点,使得四边形为矩形,矩形作为小区广场,其余为绿化带,点在上,点在上.
(1)设,求的值,并分别求的取值范围:
(2)求广场面积的最大值,并指出此时点的位置.
中山市第一中学2027届高一第一学期第一次段考数学答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
B
C
A
C
C
A
D
AC
BCD
ABC
12.313.14.3
7.解:可得;
若,则不等式无解;若,则不等式的解集为,此时要使不等式解集中恰有2个整数,则这两个整数为,则;
若,则不等式的解集为,此时要使不等式解集中恰有2个整数,则这两个整数为;所以;综上或
8.解:因为为正数,则
,当且仅当时,等号成立,
因为,
所以,在等式两边同时乘以,可得:
,
即,解得,
当且仅当时,即当时,取得最大值,选:D.
14.解:由题意可得,,
当且仅当时取等号,
令,则,
解得或(舍去),
所以,当且仅当时取等号,故的最小值3.
15.解:(1)由得,
即,所以.
(2)因为
当时,满足,此时,解得;
当时,,则,解得.
综上,可得的取值范围是.
16.解:(1)因为,又,所以,当且仅当
时等号成立,所以当时,.
即ab的最大值为.
(2).
当且仅当时等号成立,即当时取最小值8.故最小值为:8.
17.解:(1)因为二次函数的图象经过点和,
所以函数的对称轴为,
又函数在上的最大值为4,所以函数的顶点坐标为,开口向下,
设,把点代入得,解得,所以;
(2)依题意:不等式对于一切实数均成立,
即,即对于一切实数均成立,
所以,即,
即,解得或,
所以的取值范围为.
18.解:(1)当时,,
所以在单调递减,在单调递增,
所以,
所以在上的值域为;
(2)结合题意,令,
所以,解得或,
所以,
由,可得,
整理得,解得,
结合或,所以实数的取值范围为.
19.【答案】解:(1)如图,延长交于,延长交于,
则,
,即,
,故的取值范围分别是.
(2)设广场面积为,则,
,即,
当且仅当,即时,等号成立,
故的最大值为.
此时是AB的中点.
因此,当是的中点时,广场面积取得最大
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