用三角形的面积桥求锐角三角函数值.docVIP

用三角形的面积桥求锐角三角函数值

用三角形的面积桥求锐角三角函数值

用三角形的面积桥求锐角三角函数值

用三角形得面积桥求锐角三角函数值

一、利用三角形得面积桥求锐角三角函数值

例1如图１，E、Ｆ分别是正方形ABCD得边ＢC、CD得中点，求＆aｎg；ＥAF得正切值。

图1

解:连结EＦ，作FG＆pｅｒp；AE，垂足为G

设正方形得边长为2,则BＥ=CE=CＦ=FD=１

由

在中,由勾股定理，得

在△AＥF中，

易证：△ABE≌△ADＦ,ｔhｅre4；AF=AE＝

在Rt△ＡFG中

评注:本例考查了勾股定理、全等三角形等，要求锐角三角函数值必须在直角三角形进行，通过添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形，为解决问题创造了有利条件,使所求问题化归为利用三角形面积桥来解决。

例２如图2，AB是圆O得直径，ＣDpｅrp;AB于P,若ＢP=２，CD=1２，求cosanｇ；CＡD得值。

图２

解:∵AＢ是圆Ｏ得直径,AB＆ｐｅrp；CＤ

theｒｅ4；点P是弦CD得中点

＆ｔheｒｅ4；PD=PC＝6

由相交弦定理,得

PAmiddｏt；ＰＢ=PD＆ｍｉddot；ＰC=PD2

在中，由勾股定理,得

易证:

过点D作DEｐerｐ;AC，垂足为E

在中,

评注:本例考查了圆中得相交弦定理、垂径定理,还考查了勾股定理、全等三角形等知识，通过添加辅助线，构造直角三角形初二，利用三角形面积桥得特殊条件,提高了解题与为解决某些问题搭起了平台作用。

二、利用三角形得面积桥求点到直线得距离

例3如图3,已知圆与圆外切于点Ｃ，AＢ是两圆得外公切线，Ａ、B是切点,点A在圆上，点B在圆上。若AC、BC是关于x得方程得两个实数根，△ABC得周长为30，求点Ｃ到直线AB得距离。

图3

解:过点C作两圆得公切线交AB于点P,则AP=PC=PＢ

，即

＆theｒe4;△ＡBC是直角三角形、

设BC=a，ＡＣ＝ｂ，AB=ｃ，根据题意及根与系数得关系，得

将①代入③,得④

根据勾股定理，得

将①、②、④代入⑤，得

经整理,得

,解得

又

都能使原方程有实根。

当时代入④,得

,不合题意,舍去。

当时，代入④，得

＆ｔhere4；当时,代入②,得

设点C到直线AB得距离为h

评注:本例由两圆外切来判断三角形得形状,将方程中得根与系数得关系和判别式，以及勾股定理，配、方程等知识点串联在一起,综合性较强,所考查得知识点颇多,涉及面广,拓宽了对相关知识点得考查；同时合理构建方程组模型，利用方程得知识和三角形得面积桥是解决问题得关键；利用整体求值法,避免了求边长，提高了解题速度，有利于培养将所学过得掌握得相关知识转化为解决实际问题得,核心是应用，本例形成了较好得考查知识链。

三、利用三角形得面积桥求三角形得内切圆面积

例４在△AＢC中，AC＝4，ＢC＝5,ＡB=6，求△ABC得内切圆面积、

解：如图４所示，过点A作ADｐerｐ;ＢＣ，设BD=x，CＤ＝y，则

图４

在和中,由勾股定理,得

解①,②，得

设△ABC得内切圆半径为r，因为三角形得内切圆圆心到三边得距离相等、

得内切圆面积为（面积单位)。

评注：本例充分利用方程知识和三角形得面积桥，使所求问题无从下手，到“柳暗花明”，使所求问题迎刃而解。

四、利用三角形得面积桥解决其她问题

例５在△ABC中，AB=3，ＢＣ=,AＣ=4,点P为BＣ边上得任一点（不与B、C重合）,PEperp；ＡＢ，ＰFpeｒp；AC，E、F为垂足，求3ＰE+4ＰＦ得值。

解:如图5过点Ｂ作BＤ＆ｐｅrp；AC，垂足为D

图5

设

则①

在和中，由勾股定理,得

即②

解①,②，得

连结AP,则

即

评注：本例是２019年全国高题改编,在解题过程中,利用了方程思想，实现了几何代数化，由方程知识和三角形得面积桥，使解题思路清晰,解题方法跃然纸上,简洁明快，所以三角形得面积桥为提高解题质量和技巧提供了便捷通道。