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重难点06:抛物线中的定点、定值、定直线及抛物线的应用
考点01:抛物线中的直线过定点问题
1.已知曲线C:y=,D为直线y=上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.
(1)证明:直线AB过定点:
(2)若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.
2.设抛物线:()的焦点为,点的坐标为.已知点是抛物线上的动点,的最小值为4.
(1)求抛物线的方程:
(2)若直线与交于另一点,经过点和点的直线与交于另一点,证明:直线过定点.
3.已知抛物线:过点.
(1)求抛物线的方程;
(2),是抛物线上的两个动点,直线的斜率与直线的斜率之和为4,证明:直线恒过定点.
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4.已知动圆恒过定点,圆心到直线的距离为.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过直线上的动点作的两条切线,切点分别为,证明:直线恒过定点.
5.设抛物线C:的焦点为F,点在抛物线C上,(其中O为坐标原点)的面积为4.
(1)求外接圆的方程;
(2)若过点的直线与抛物线C交于A,B两点,延长AF,BF分别与抛物线C交于M,N两点,证明:直线MN过定点,并求出此定点坐标.
考点02:抛物线中存在定点满足某条件
6.设抛物线:,直线与交于,两点,且.
(1)求;
(2)若在轴上存在定点,使得,求定点的坐标.
7.已知直线l1:过椭圆C:的左焦点,且与抛物线M:相切.
(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程;
(2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A,B两点,直线OA,OB与椭圆的过右顶点的切线交于M,N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P,若存在,求出定点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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8.已知为抛物线上不同两点,为坐标原点,,过作于,且点.
(1)求直线的方程及抛物线的方程;
(2)若直线与直线关于原点对称,为抛物线上一动点,求到直线的距离最短时,点的坐标.
9.已知点A,B关于坐标原点O对称,│AB│=4,⊙M过点A,B且与直线x+2=0相切.
(1)若A在直线x+y=0上,求⊙M的半径.
(2)是否存在定点P,使得当A运动时,│MA│-│MP│为定值?并说明理由.
10.在直角坐标系中,曲线C:y=与直线交与M,N两点,
(Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.
考点03:抛物线中的定值问题
11.在直角坐标系xOy中,曲线C1的点均在C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.
(1)求曲线C1的方程;
(2)设P(x0,y0)(y0≠±3)为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.证明:当P在直线x=﹣4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.
12.如图,已知抛物线,过点任作一直线与相交于两点,过点作轴的平行线与直线相交于点(为坐标原点).
(1)证明:动点在定直线上;
(2)作的任意一条切线(不含轴)与直线相交于点,与(1)中的定直线相交于点,证明:为定值,并求此定值.
13.已知抛物线C:=2px经过点(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;
(Ⅱ)设O为原点,,,求证:为定值.
14.已知抛物线的焦点为,准线为,过点且倾斜角为的直线交抛物线于点(M在第一象限),,垂足为,直线交轴于点,
(1)求的值.
(2)若斜率不为0的直线与抛物线相切,切点为,平行于的直线交抛物线于两点,且,点到直线与到直线的距离之比是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
15.已知抛物线上一点到焦点的距离为3.
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(1)求,的值;
(2)设为直线上除,两点外的任意一点,过作圆的两条切线,分别与曲线相交于点,和,,试判断,,,四点纵坐标之积是否为定值?若是,求该定值;若不是,请说明理由.
考点04:抛物线中的定直线
16.已知抛物线C:,过的直线与C相交于A,B两点,其中O为坐标原点.
(1)证明:直线OA,OB的斜率之积为定值;
(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于M,且,求直线AB的方程.
17.过抛物线内部一点作任意两条直线,如图所示,连接延长交于点,当为焦点并且时,四边形面积的最小值为32
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(1)求抛物线的方程;
(2)若点,证明在定直线上运动,并求出定直线方程.
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18.已知抛物线和圆,倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切.
(1)求p的值:
(2)点M在的准线上,动点A在上,在A点处的切线l2交y轴于点B,设,求证:点N在定直线上,并求该定直线的方程.
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19.已知
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