重难点突破02 函数的综合应用（解析版）.docx

重难点突破02函数的综合应用

目录

1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．

2、函数的图象与性质

分奇、偶两种情况考虑：

比如图（1）函数，图（2）函数

（1）当为奇数时，函数的图象是一个“”型，且在“最中间的点”取最小值；

（2）当为偶数时，函数的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；

若为等差数列的项时，奇数的图象关于直线对称，偶数的图象关于直线对称．

3、若为上的连续单峰函数，且为极值点，则当变化时，的最大值的最小值为，当且仅当时取得．

题型一：函数与数列的综合

例1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，满足，，设数列的前项和为，则以下结论正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】，把代入递推可得：，

令，，则，在单调递增，

，即当时，恒有成立，

，，，故选项错误；

又，选项错误；

，，

令，，则，函数在，上递减，，

，故选项正确；

又由可得，，（当且仅当时取““，可得，

，故选项错误，

故选．

例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，解得或，

由零点存在性定理得，

当时，，数列单调递减，

，，同理，，

迭代下去，可得，数列单调递减，

故选项和选项都错误；

又，

，故错误；

对于，，

而，

，故正确．

故选．

例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对于选项，，故错误；

对于选项，由知，，

故为非负数列，又，

设，则，

易知在，单调递减，在上单调递增，

所以，

又，所以，从而，

所以为递减数列，且，故错误；

对于选项，

因为数列为递减数列，当时，有，

，

故正确；对于选项，因为，而，故错误．故选．

变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，且，下列说法正确的是（????）

A．若，则 B．若，则

C． D．

【答案】B

【解析】，故，．

，故且，于是与同号，

即．

对选项A：若，则，则，

，所以，错误；

对选项B：，，则，即，

于是，即，数列单调递减，，

，，故，即，

，故，

故，故，正确；

对选项C：考虑函数，，，

函数单调递增，结合的图像，如图所示：

??

由图可知当时，数列递减，

，所以，即，不正确；

对选项D：设，则，，

，即，

等价于，化简得，

而显然不恒成立，不正确；

故选：B．

变式2．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（????）

A． B．

C．数列是递增数列 D．

【答案】D

【解析】的极值点为在上的变号零点.

即为函数与函数图像在交点的横坐标.

又注意到时，，时，，

，时，.

据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.

A选项，注意到时，，，.

结合图像可知当，.

当，.故A错误；

B选项，由图像可知，则，故B错误；

C选项，表示两点与间距离，由图像可知，

随着n的增大，两点间距离越来越近，即为递减数列，故C错误；

D选项，由A选项分析可知，，

又结合图像可知，当时，，即此时，

得在上单调递增，

则，故D正确.

故选：D

变式3．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）无穷数列满足：，且对任意的正整数n，均有，则下列说法正确的是（????）

A．数列为严格减数列 B．存在正整数n，使得

C．数列中存在某一项为最大项 D．存在正整数n，使得

【答案】D

【解析】因为，所以，所以，

由可得，则，

则有，

设函数，

，

当时，，当时，，

所以在单调递增，单调递减，

所以，

因为，所以

以此类推，对任意，故B错误；

所以，故A错误；

因为，所以数列中不存在某一项为最大项，C错误；

因为，所以，

，

所以存在正整数n，使得，D正确.

题型二：函数与不等式的综合

例4．（2023·全国·高三专题练习）关于