重难点突破02 解三角形图形类问题（十大题型）（含答案解析）.docx

重难点突破02解三角形图形类问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法） 2

题型二：两角使用余弦定理建立等量关系 8

题型三：张角定理与等面积法 12

题型四：角平分线问题 16

题型五：中线问题 21

题型六：高问题 30

题型七：重心性质及其应用 33

题型八：外心及外接圆问题 37

题型九：两边夹问题 42

题型十：内心及内切圆问题 44

03过关测试 49

解决三角形图形类问题的方法：

方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.

题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法）

【典例1-1】（2024·河南·三模）已知是内一点，.

(1)若，求；

(2)若，求.

【解析】（1）如图所示，

在中，，所以.

所以.

在中，由正弦定理得，即，解得.

（2）如图所示，

当时，.

设，则.

在中，由正弦定理得.

在中，由正弦定理得.

因为，所以，即，

整理得，即，解得，即.

【典例1-2】的内角的对边分别为为平分线，.

(1)求；(2)上有点，求.

【解析】（1）

设，

，

，，

，

（2）由（1）知：，

中，，

，故得：，

设中，

，

，

中，，，

，

两式相除得：，，

，，

，

为锐角，故.

【变式1-1】如图，在平面四边形中，，，．

??

(1)若，求；

(2)若，求．

【解析】（1）在中，，所以，

在中，，所以，又，

所以，

在中由余弦定理，

即，

所以.

（2）由已知可得，又，所以，，

设，，则，

在中由正弦定理，即，所以，

在中由正弦定理，即，所以，又，所以，解得或，

由，

当时，

当时，

所以或.

【变式1-2】（2024·广东广州·二模）记的内角、、的对边分别为、、，已知.

(1)求；

(2)若点在边上，且，，求.

【解析】（1）因为，

由余弦定理可得，

化简可得，由余弦定理可得，

因为，所以，.

（2）因为，则为锐角，所以，，

因为，所以，，

所以，，

设，则，

在和中，由正弦定理得，，

因为，上面两个等式相除可得，

得，即，

所以，.

【变式1-3】在中，内角，，所对的边分别为，，，且.

(1)求角；

(2)若是内一点，，，，，求．

【解析】（1）因为，

所以由正弦定理得；

，，，则；

（2）

，，；

在中，由正弦定理得：；

在中，由正弦定理得：；

，

即，

题型二：两角使用余弦定理建立等量关系

【典例2-1】如图，四边形中，，．

(1)求；

(2)若，求．

【解析】（1）中，设，则，解得

，；

（2）设，则

设，，

中，

中，

，，可得，化简得，即

又，，即

，解得

【典例2-2】如图，在梯形ABCD中，，．

(1)求证：；

(2)若，，求梯形ABCD的面积．

【解析】（1）连接BD．

因为，所以．

在中，由正弦定理得，①

在中，由正弦定理得，②

由，，结合①②可得．

（2）由（1）知，，

，又，所以，则．

连接BD，

在中，由余弦定理得

；

在中，由余弦定理得

，

所以，解得或．

当时，连接AC，在中，由余弦定理，得

，

所以，而此时，故不满足题意，经检验满足题意，

此时梯形ABCD的高，当时，梯形ABCD的面积；

所以梯形ABCD的面积为．

【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.

(1)求角；

(2)若点在上，，，求的值.

【解析】（1）因为，

所以，解得或（舍去），

所以，即，

因为，所以.

（2）如图，因为，，设，，

在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

因为，所以，

即，所以，

所以，

因为，所以，

所以.

【变式2-2】平面四边形中，，，，．(1)求；

(2)求四边形周长的取值范围；

(3)若为边上一点，且满足，，求的面积．

【解析】（1）因为，，所以，

在中由余弦定理

；

（2）在中，

即，

所以，所以，当且仅当时取等号，

又，

则，即，所以，

所以，

即四边形周长的取值范围为；

（3）因为，所以