空间向量与立体几何——2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】（含解析）.docxVIP

2024年

（7）空间向量与立体几何

——2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】

易混重难知识

1.柱体、锥体、台体的体积

几何体

体积公式

柱体

（为底面面积，为高），（为底面半径，为高）

锥体

（为底面面积，为高），（为底面半径，为高）

台体

（分别为上、下底面面积，为高），

（分别为上、下底面半径，为高）

2.球的表面积和体积

（1）球的表面积：设球的半径为，则球的表面积为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.

（2）球的体积：设球的半径为，则球的体积为.

3.异面直线所成的角：

（1）定义：已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）.

（2）异面直线所成的角的取值范围：.

（3）两条异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角，即时，与互相垂直，记作.

4.直线和平面所成的角

有关概念

对应图形

斜线

一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，图中直线.

斜足

斜线和平面的交点，图中点.

射影

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.

直线与平面所成的角

定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角；

规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；

一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是的角.

取值范围

5.二面角的概念

概念

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

图示

记法

棱为，面分别为的二面角记为.

也可在内（棱以外的半平面部分）分别取点，记作二面角.

平面角

文字

在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.

图示

符号

，，，，，，是二面角的平面角.

范围

规定

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.

平面角是直角的二面角叫做直二面角.

6.空间中直线、平面的平行

①直线与直线平行：设，分别是直线，的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以，使得.

②直线与平面平行：设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，，则.

③平面与平面平行：设，分别是平面，的法向量，则，使得.

7.空间中直线、平面的垂直

①直线与直线垂直：设直线，的方向向量分别为，，则.

②直线与平面垂直：直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则，使得.

③平面与平面垂直：设平面，的法向量分别为，，则.

8.点到直线的距离

如图，向量在直线l上的投影向量为，设，则向量在直线l上的投影向量.在中，由勾股定理，得.

9.点到平面的距离

如图，已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点.过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此

.

10.异面直线所成的角

若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是u，v，则.

11.直线与平面所成的角

直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则.

12.二面角

若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则.

易错试题提升

1.已知圆锥的母线为6，底面半径为1，把该圆锥截成圆台，使圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为()

A. B. C. D.

2.设m，n是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是()

A.若，，，则

B.若，，，则

C.若，，，则

D.若，，，则

3.如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓可看作正四棱台，已知该四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该款粉碎机进物仓的容积为()

A. B. C. D.

4.如图，将正四棱柱斜立在平面上，顶点在平面内，平面，.点P在平面内，且.若将该正四棱柱绕旋转，则PC的最大值为()

A. B. C. D.

5.如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，D，E，F分别是棱AB，，的中点，则异面直线DF与所成角的余弦值是()

A. B. C. D.

6.在三棱锥中，，E为线段AP上更靠近P的三等分点，过点E作平行于AB，PC的平面，则该平面截三棱锥所得截面的周长为()

A.5 B.6 C.8 D.9

7.在四边型ABCD中（如图1所示），，，，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体（如图2所示），使得，则四面体外接球的表面积为()

A. B. C. D.

8.已知四面体的每