人教B版高中数学必修第二册课后习题 第六章 6.2.1 向量基本定理.docVIP

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6.2.1向量基本定理

课后训练巩固提升

A组

1.设e1,e2不共线,b=e1+λe2与a=2e1-e2共线,则实数λ的值为()

A.12 B.-12

解析:∵b与a共线,∴存在实数k,使得b=ka,

即e1+λe2=k(2e1-e2),

即(1-2k)e1=(-k-λ)e2.

∵e1与e2不共线,

∴1-2k=0

答案:B

2.已知向量AB=a+3b,BC=5a+3b,CD=-3a+3b,则 ()

A.A,B,C三点共线

B.A,B,D三点共线

C.A,C,D三点共线

D.B,C,D三点共线

解析:∵BC+CD=

∴BD与

又它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.

答案:B

3.设在四边形ABCD中,有DC=12AB,且|

A.平行四边形 B.矩形

C.等腰梯形 D.菱形

解析:∵DC=12AB,

又|AD|=|BC|,∴这个四边形为等腰梯形.

答案:C

4.设a,b不共线,AB=a+kb,AC=ma+b(k,m∈R),则当A,B,C三点共线时,有()

A.k=m B.km-1=0

C.km+1=0 D.k+m=0

解析:∵A,B,C三点共线,∴AB与

∴存在唯一实数λ,使AB=λAC,

即a+kb=λ(ma+b),即a+kb=λma+λb,

∴λm=1

∴km=1,即km-1=0.

答案:B

5.设一直线上三点A,B,P满足AP=λPB(λ≠±1),O为平面内任意一点,则OP用

A.OP=OA+λ

B.OP=λOA+(1+λ)OB

C.OP=

D.OP

解析:∵AP=λPB,

∴OP=OA+λPB=OA+λ(OB-OP)=OA+λOB-λOP,

∴OP=

答案:C

6.(多选题)若D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且BC=a,CA=b,则下列结论正确的是()

A.AD=-12a+b

B.BE=a+12

C.CF=-12a+12

D.EF=

解析:如图,AD=AC+CD=-b+

BE=BC+

AB=

∴CF=CA+12AB=b+

EF=12

故选BC.

答案:BC

7.下列向量中,a,b共线的有.(填序号)?

①a=2e,b=-2e;

②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;

③a=4e1-25e2,b=e1-110e

④a=e1+e2,b=2e1-2e2.

解析:①中a=-b,②中a=-12b,③中a=4b,由共线向量基本定理可知,①②③中a,b均共线;④

答案:①②③

8.如图,在正方形ABCD中,设AB=a,AD=b,BD=c,则当以a,b为基底时,AC可表示为;当以a,c为基底时,AC可表示为.?

解析:当以a,c为基底时,将BD平移,使B与A重合,再由三角形法则或平行四边形法则即得答案.

答案:a+b2a+c

9.如图,已知AB=a,AC=b,BD=3DC,用a,b表示AD,则AD=.?

解析:AD=AB+BD=

答案:14a+3

10.已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面内所有向量的一组基底,则实数λ的取值范围是.?

解析:若向量a,b共线,则λ=4.故当向量a,b不共线时,λ≠4.

答案:λ≠4

11.已知i,j是两个不共线的向量,AB=3i+2j,CB=i+λj,CD=-2i+j.若A,B,D三点共线,试求实数λ的值.

解:∵BD=

∵A,B,D三点共线,∴向量AB与

∴存在实数μ,使得AB=μBD,即3i+2j=μ[-3i+(1-λ)j]=-3μi+μ(1-λ)j.

∵i与j是两个不共线向量,-

∴μ=

故当A,B,D三点共线时,λ=3.

12.已知四边形ABCD为矩形,且AD=2AB,又△ADE是以D为直角顶点的等腰直角三角形,F为ED的中点,EA=e1,EF=e2,选择{e1,e2}作为基底,用基底表示向量AF,

解:如图,∵e1=EA,e2=EF,

∴AF=EF-EA=e

∵AD=2AB=DE,且F为DE的中点,

∴四边形ABDF为平行四边形.

∴AB=FD=

AD=ED-EA=2EF-EA=2e2-e1,

B组

1.如图,AB是☉O的直径,点C,D是半圆弧AB上的三等分点,AB=a,AC=b,则AD=()

A.12a+b B.1

C.a+12b D.a-1

解析:连接OD,CD,则四边形AODC是平行四边形,所以AD=

答案:A

2.已知O是四边形ABCD所在平面内的一点,且OA,OB,

A.平行四边形 B.菱形

C.梯形 D.等腰梯形

解析:∵OA+

∴OA-

∴BA=CD,即BA

∴四边形ABCD是平行四边形.

答案:A

3.(多选题)若e1,e2是平面内所有向