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6.2.1向量基本定理
课后训练巩固提升
A组
1.设e1,e2不共线,b=e1+λe2与a=2e1-e2共线,则实数λ的值为()
A.12 B.-12
解析:∵b与a共线,∴存在实数k,使得b=ka,
即e1+λe2=k(2e1-e2),
即(1-2k)e1=(-k-λ)e2.
∵e1与e2不共线,
∴1-2k=0
答案:B
2.已知向量AB=a+3b,BC=5a+3b,CD=-3a+3b,则 ()
A.A,B,C三点共线
B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线
D.B,C,D三点共线
解析:∵BC+CD=
∴BD与
又它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.
答案:B
3.设在四边形ABCD中,有DC=12AB,且|
A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
解析:∵DC=12AB,
又|AD|=|BC|,∴这个四边形为等腰梯形.
答案:C
4.设a,b不共线,AB=a+kb,AC=ma+b(k,m∈R),则当A,B,C三点共线时,有()
A.k=m B.km-1=0
C.km+1=0 D.k+m=0
解析:∵A,B,C三点共线,∴AB与
∴存在唯一实数λ,使AB=λAC,
即a+kb=λ(ma+b),即a+kb=λma+λb,
∴λm=1
∴km=1,即km-1=0.
答案:B
5.设一直线上三点A,B,P满足AP=λPB(λ≠±1),O为平面内任意一点,则OP用
A.OP=OA+λ
B.OP=λOA+(1+λ)OB
C.OP=
D.OP
解析:∵AP=λPB,
∴OP=OA+λPB=OA+λ(OB-OP)=OA+λOB-λOP,
∴OP=
答案:C
6.(多选题)若D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且BC=a,CA=b,则下列结论正确的是()
A.AD=-12a+b
B.BE=a+12
C.CF=-12a+12
D.EF=
解析:如图,AD=AC+CD=-b+
BE=BC+
AB=
∴CF=CA+12AB=b+
EF=12
故选BC.
答案:BC
7.下列向量中,a,b共线的有.(填序号)?
①a=2e,b=-2e;
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;
③a=4e1-25e2,b=e1-110e
④a=e1+e2,b=2e1-2e2.
解析:①中a=-b,②中a=-12b,③中a=4b,由共线向量基本定理可知,①②③中a,b均共线;④
答案:①②③
8.如图,在正方形ABCD中,设AB=a,AD=b,BD=c,则当以a,b为基底时,AC可表示为;当以a,c为基底时,AC可表示为.?
解析:当以a,c为基底时,将BD平移,使B与A重合,再由三角形法则或平行四边形法则即得答案.
答案:a+b2a+c
9.如图,已知AB=a,AC=b,BD=3DC,用a,b表示AD,则AD=.?
解析:AD=AB+BD=
答案:14a+3
10.已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面内所有向量的一组基底,则实数λ的取值范围是.?
解析:若向量a,b共线,则λ=4.故当向量a,b不共线时,λ≠4.
答案:λ≠4
11.已知i,j是两个不共线的向量,AB=3i+2j,CB=i+λj,CD=-2i+j.若A,B,D三点共线,试求实数λ的值.
解:∵BD=
∵A,B,D三点共线,∴向量AB与
∴存在实数μ,使得AB=μBD,即3i+2j=μ[-3i+(1-λ)j]=-3μi+μ(1-λ)j.
∵i与j是两个不共线向量,-
∴μ=
故当A,B,D三点共线时,λ=3.
12.已知四边形ABCD为矩形,且AD=2AB,又△ADE是以D为直角顶点的等腰直角三角形,F为ED的中点,EA=e1,EF=e2,选择{e1,e2}作为基底,用基底表示向量AF,
解:如图,∵e1=EA,e2=EF,
∴AF=EF-EA=e
∵AD=2AB=DE,且F为DE的中点,
∴四边形ABDF为平行四边形.
∴AB=FD=
AD=ED-EA=2EF-EA=2e2-e1,
B组
1.如图,AB是☉O的直径,点C,D是半圆弧AB上的三等分点,AB=a,AC=b,则AD=()
A.12a+b B.1
C.a+12b D.a-1
解析:连接OD,CD,则四边形AODC是平行四边形,所以AD=
答案:A
2.已知O是四边形ABCD所在平面内的一点,且OA,OB,
A.平行四边形 B.菱形
C.梯形 D.等腰梯形
解析:∵OA+
∴OA-
∴BA=CD,即BA
∴四边形ABCD是平行四边形.
答案:A
3.(多选题)若e1,e2是平面内所有向
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