数学-2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考通用）03（答案及评分标准）.docx

数学-2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考通用）03

数学·答案及评分标准

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

B

C

C

B

A

D

D

B

ABC

AC

AD

CD

13． 14．

15． 16．5（答案不唯一）

17．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由同角三角函数的平方关系结合角的象限计算，再由商数关系计算；

（2）先由二倍角公式计算和，再代入和差角公式计算即可.

【详解】（1），，

（5分）

（2）由（1）得，

所以，

，

所以（10分）

18．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）设，可用点的坐标表示，根据斜率关系可得的关系，根据导数求出点处切线斜率，从而可证抛物线在点处切线斜率为；．

（2）设，根据题设的共点的直线的斜率关系可得，从而可证、为等差数列，故可证为等差数列．

【详解】（1）设

则，同理．

，即，，．

当时，，

∴抛物线在点处切线斜率为，得证．

??（5分）

（2）设，

故直线，

令，则，故，同理．

当时，

故

，

当时，同理有，

∵，故，

整理得到：，因此，

由可得，故，

因此，即为等差数列，设其公差为．

而，故，其中．

又直线，因该直线过，

故，解得，

故，∴，

故，而，

故，∴为等差数列，设其公差为．

故，

故当时，

，

该数为常数．

当时，，

该数为常数，

而，

故，故，

故对任意的，为常数，故数列为等差数列．（12分）

19．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）通过勾股定理，证明出可证得平面.

（2）作，垂足为H，连结，证得为与平面所成的角，在中求即可.

【详解】（1）∵，，，

由勾股定理得：，

中，，

∵，∴，

又因为底面，底面，所以，

又因为且平面，∴平面，（6分）

（2）作，垂足为H，连结，

因为平面，平面，所以，

又因为且平面，所以平面，

所以为与平面所成的角，

中，，

，

所以直线与平面所成角的余弦值为.（12分）

20．

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）由已知可得，，然后即可根据等差数列的前n项和公式，即可得出答案；

（2）由（1）可推得，然后根据错位相减以及等比数列的前n项和公式，即可得出答案；

（3）由（1）可推得，进而可得当时，.裂项求和即可得出证明.

【详解】（1）由已知，

所以，

所以，．（2分）

（2）由（1）可知，，，

所以，

所以①，

②，

所以①②可得，

所以．（6分）

（3）由（1）可推得.

当时，，

所以

，

，

所以当时，．（12分）

21．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用椭圆过点，得到，再由椭圆的离心率为，求出的值，从而求到椭圆的标准方程；

（2）对直线的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出，得到结论.

【详解】（1）因为椭圆过点，所以，

又，，所以，得到，

所以椭圆的标准方程为.（4分）

（2）当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，

联立直线和椭圆的方程得，消去并整理，得，

因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，

，

化简整理得

因为直线与垂直，所以直线的方程为，

联立得，解得，，

所以

把代入上式得，，所以，为定值；

当直线斜率为0时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，

此时或，，为定值；

当直线斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，

此时或，，为定值；

综上所述，，为定值.（12分）

22．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆离心率和焦点三角形周长可求得，即可得出椭圆C的标准方程；

（2）易知的轨迹是以OM为直径的圆与圆的交点，求出AB所在的直线方程，并于椭圆方程联立根据弦长公式求得的面积的表达式，再化简变形构造函数即可求得其取值范围.

【详解】（1）设椭圆焦距为2c，根据椭圆定义可知，

的周长为，离心率

联立，解得，，

所以，

即椭圆C的标准方程.（4分）

（2）设点，又为切点，可知，

所以四点共圆，即在以OM为直径的圆上，

则以OM为直径的圆的方程为，

又在圆上，

两式相减得直线AB的方程为，如下图所示：

设，，由，

消去y整理后得，

，，

所以

，

又点O到直线PQ的距离，

设的面积为S，则

，

其中，令，则，

设，，则，

所以在区间上单调递增，从而得，

于是可得，

即的面积的取值范围为.（12分）