优化方案数学必修4第二章24课时活页训练.docVIP

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1．已知a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()

A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)

C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)

解析：选C.∵cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2,1×4)＝eq\f(1,2)，0≤θ≤π，

∴θ＝eq\f(π,3)，故选C.

2．设a与b的模分别为4和3，夹角为60°，则|a＋b|＝()

A．37B．13

C.eq\r(37)D.eq\r(13)

解析：选C.|a＋b|＝eq\r(?a＋b?2)

＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)

＝eq\r(42＋2×4×3×cos60°＋32)＝eq\r(37).

3．已知非零向量a、b，若(a＋2b)⊥(a－2b)，则eq\f(|a|,|b|)＝()

A.eq\f(1,4)B．4

C.eq\f(1,2)D．2

解析：选D.∵(a＋2b)⊥(a－2b)，

∴(a＋2b)·(a－2b)＝0，∴a2＝4b2，

∴|a|＝2|b|，∴eq\f(|a|,|b|)＝2，故选D.

4．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，若a·b0，则△ABC的形状为()

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．不能判断

解析：选C.由于a与b的夹角为180°－B，

故a·b＝|a||b|cos(180°－B)＝－|a|·|b|cosB.

∵a·b0，∴cosB0，

∴角B为钝角，故选C.

5．设a、b、c是同一平面内的非零向量，且相互不共线，则下列命题：①(a·b)·c－a·(b·c)＝0；②|a|－|b||a－b|；③(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的是()

A．③④B．①②

C．②③D．②④

解析：选D.因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，所以③不对，排除选项A、C.①显然不对，因为平面向量的数量积不适合乘法结合律．故选D.

6．(2010年高考湖南卷)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()

A．30°B．60°

C．120°D．150°

解析：选C.(2a＋b)·b＝2a·b＋|b|2＝0，

∴a·b＝－eq\f(1,2)|b|2.

设a与b的夹角为θ，

∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－\f(1,2)|b|2,|b|2)＝－eq\f(1,2)，

又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.

7．(2010年高考江西卷)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是__________．

解析：eq\f(a·b,|a|)＝|b|·cos60°＝2×eq\f(1,2)＝1.

答案：1

8．对于任意两个向量a，b，(a＋b)·(a－b)与(|a|＋|b|)·(|a|－|b|)的关系为__________．

解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(|a|＋|b|)·(|a|－|b|)＝|a|2－|b|2，∴两式相等．

答案：相等

9．若|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝__________.

解析：由于a＋λb与a－λb垂直，

则有(a＋λb)·(a－λb)＝0，|a|2－λ2|b|2＝0，

所以λ2＝eq\f(9,25)，即λ＝±eq\f(3,5).

答案：±eq\f(3,5)

10．平面向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4.求a·b＋b·c＋c·a的值．

解：法一：由已知得|c|＝|a|＋|b|，c＝－a－b，可知向量a与b同向，而向量c与它们反向．

所以有a·b＋b·c＋c·a

＝3cos0°＋4cos180°＋12cos180°＝3－4－12＝－13.

法二：∵(a＋b＋c)2

＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)，

∴a·b＋b·c＋c·a

＝eq\f(?a＋b＋c?2－?a2＋b2＋c2?,2)

＝eq\f(0－?32＋12＋42?,2)＝－13.

11．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，求向量m＝2a＋b与向量n＝a－4b的夹角θ的余弦值．

解：a·b＝2×1×cos60°＝1，

|m|2＝|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2

＝4