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《向量和向量线性运算的坐标表示》课时同步讲解

问题情境导入

如图,向量是两个互相垂直的单位向量,向量与的夹角是,且,以向量为基底,向量如何表示?

提示：因为向量与的夹角是,且，所以,于是.

新课自主学习

自学导引

1.在平面直角坐标系中,分别取与轴、轴正方向相同的两个单位向量作为基底,对于平面内的向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对有序实数,使得.我们把有序实数对______称为向量的(直角)坐标,记作.

2.已知,则______,____________.

3.已知,则______.

这就是说,一个向量的坐标等于该向量______的坐标减去______的坐标.

答案

1.

2.(

3.终点起点

预习测评

1.向量为原点)的终点位于第二象限,则有()

A.

B.

C.

D.

2.已知,则等于()

A.

B.

C.

D.

3.设向量的坐标分别是,则______,____________.

4.已知平面上三个点,则向量______,______.

答案

1.

答案：C

解析：∵点的坐标为.又点在第二象限,∴.

2.

答案：C

解析：

3.

答案：,,

解析：

4.

答案：

解析：,∴

新知合作探究

探究点1向量的坐标表示

知识详解

在平面直角坐标系中,分别取与轴、轴正方向相同的两个单位向量作为基底,对于平面内的向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对有序实数,使得.我们把有序实数对称为向量的(直角)坐标,记作.

典例探究

例1如图,已知点是坐标原点,点在第一象限,,向量的坐标是______.

解析:方法一:设,则.①

又因为,所以.②

结合方程①②和,点在第一象限可求得所以.

方法二:设(其中,则

,所以.

答案：

变式训练1如图，分别取x轴、y轴正方向相同的两个单位向量作为基底,分别用表示,,并求出它们的坐标.

答案：根据题意可得,

它们的坐标表示为:,.

方法归纳求向量的坐标的方法:在平面直角坐标系中,若是分别与轴、y轴正方相同的单位向量,则当时,向量的坐标即为.

探究点2向量线性运算的坐标表示.

知识详解

已知.

向量的加法:两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和,.

向量的减法:两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差,.

向量的数乘:向量数乘的坐标等于向量中的每个坐标与该数相乘后得到的坐标,.

已知,则),这就是说,一个向量的坐标等于该向量的终点的坐标减去起点的坐标.

特别提示两向量相等的条件是它们对应的横、纵坐标分别相等,但起点、终点的坐标却可以不同,例如,(3,5),,则.显然四点的坐标各不相同.

典例探究

例2若向量,则等于()

A.

B.

C.

D.

解析:根据向量线性运算的坐标表示求解.

.

答案:A

变式训练2已知,,若,则等于（）

A.

B.

C.

D.

答案：D

点拨因为,所以.因为,

所以.

易错易混解读

例已知,求以A,B,C为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标.

错解设点的坐标为.若四边形是平行四边形,则由,可得,解得.故所求顶点的坐标为.

错因分析错误地解读了题干,认为平行四边形只能是,没有画出简图帮助分析.实际上题干中只说以为顶点的平行四边形,并没有对平行四边形的四个顶点的顺序进行限定,故点有三种位置情况.错解错在考虑问题不全面,造成漏解.

正解设点的坐标为.若四边形是平行四边形,则由,可得,解得.故所求顶点的坐标为.若四边形是平行四边形,则由,可得,解得,故所求顶点的坐标为.若四边形是平行四边形,则由,可得,解得,故所求顶点的坐标为.综上可得,以为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标是或或.

纠错心得“求以为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标”与“求以为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标”是有区别的.前者的点位置确定了，四点是按同一方向（顺时针或逆时针）排列,后者的点位置没有确定,应分三种情况进行讨论.培养学生认真审题、全面考虑,分类讨论的综合解题能力.

课堂快速检测

1.已知,则______.

2.若向量,则等于()

A.

B.

C.

D.

3.在平行四边形中,为一条对角线,若,4),,则______.

4.已知平行四边形,其中为坐标原点,若,1),,则点的坐标为______.

5.已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量,为坐标原点,设(其中,则点位于()

A.第一、二象限

B.第二、三象限

C.第三象限

D.