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高中数学精选资源
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《向量的数乘》课时同步详解
问题情境导入
一根细绳东西方向摆放,一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动,如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为,那么它在同一方向上运动4秒钟的位移对应的向量怎样表示?是吗?蚂蚁向西运动4秒钟的位移对应的向量又怎样表示?是-吗?你能用图形表示吗?
思考类比实数的运算“,你能猜想实例中的结果吗?
新课自主学习
自学导引
1.向量的数乘的定义:一般地,实数与向量的积是一个,记作,它的长度和方向规定如下:
(1).
(2)若,则当时,与方向;当时,与方向.
实数与向量相乘的运算,叫作向量的数乘.
2.特别地,当时,;当时,.
3.向量数乘的几何意义.
当时,把向量沿着的方向放大或缩小;
当时,把向量沿着的方向放大或缩小.
4.向量的数乘的运算律.
设为向量,为实数,则有:
(1);
(2);
(3).
5.向量的线性运算:向量的加法、减法和数乘统称为向量的.向量线性运算的结果仍是.
6.向量共线定理.
设为,如果有一个实数,使,那么与是;反之,如果与是共线向量,那么有且只有一个实数,使.
答案
1.向量(1)(2)相同相反
2.00
3.相同相反
4.(1)
(2)
(3)
5.线性运算向量
6.非零向量共线向量
预习测评
1.判断对错,并说明理由.
(1)若向量与共线,则存在唯一的实数使.()
(2)若,则与共线(其中为实数).()
(3)若,则(其中为实数).()
2.下列说法正确的是()
A.与不能相等
B.
C.
D.
3.若,则向量等于()
A.
B.
C.
D.
4.等于()
A.
B.
C.0
D.
5.已知是两个不共线的向量,,若与是共线向量,则实数.
答案
1.(1)×(2)√(3)×(点拨:对于(1),当时,实数不唯一.当时,不存在实数.对于(2),由向量共线定理可知其正确.对于(3),若,则或
2.C(点拨:对于,当时,有.对于,当时,有正确.对于,当时,有.)
3.B(点拨:由题知.)
4.B(点拨:)
5.(点拨:∵不共线,∴向量不为0.
又∵共线,
∴存在实数,使,
即,
即,而不共线,
∴
新知合作探究
探究点1向量的数乘的定义
知识详解
1.定义:一般地,实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度和方向规定如下:
(1).
(2)若,则当时,与方向相同;当时,与方向相反.
实数与向量相乘的运算,叫作向量的数乘.
2.特别地,当时,;当时,.
特别提示从两个角度看向量的数乘:
1.代数角度.
是实数,是向量,它们的积仍是向量.另外,的条件是或.
2.几何角度.
对于向量的长度而言,
(1)当时,有,这意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上伸长到的倍.
(2)当时,有,这意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向0)上缩短到的.
典例探究
例1已知,且,那么下列命题中正确的个数为()
①时,与的方向一定相反;
②时,与的方向一定相同;
③时,与的方向一定相同;
④时,与的方向一定相反.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析根据实数与向量的积的方向规定,易知①②都是正确的.对于③,由可得同为正或同为负,所以和或者都与同向,或者都与反向,所以与是同向的,故③正确.对于④,由可得,异号,所以和中,一个与同向,另一个与反向,所以与是反向的,故④正确.
答案D
归纳总结的正负决定向量的方向,的大小决定向量的模.
变式训练1设是非零向量,是非零实数,下列结论中正确的是()
A.与的方向相反
B.
C.
D.与的方向相同
答案D
点拨对于是非零向量,是非零实数,∴与的方向相反或相同.对于,当,且时,.对于是实数,是向量,它们不可能相等.对于与的方向相同.
探究点2向量数乘的运算律
知识详解
1.向量数乘的运算律.
(1)设为向量,为实数,则有:
①;
②;
③.
(2)特别地,有.
2.向量的线性运算:向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量以及任意实数,恒有.
典例探究
例2计算:(1);
(2);
(3).
解析
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