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江西省上饶市婺源天佑中学2024-2025学年高三上学期十月考试数学卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知,且,则下列正确的是(????)
A. B.
C. D.
2.已知函数.将函数向左平移一个单位,再向上平移一个单位后得函数,若,则实数的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
3.设是锐角,,则(???)
A. B. C. D.
4.已知函数fx=Asinωx+φ(,,均为正的常数)的最小正周期为,当时,函数取得最小值,则下列结论正确的是()
A.
B.
C.
D.
5.如图,空间四边形中,,点在上,且,点为中点,则等于(????)
A. B.
C. D.
6.暑期将至,甲?乙?丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选,且甲没有选景点,则所有不同的选法种数为(????)
A.540 B.720 C.1080 D.1170
7.记等差数列的前n项和为,若成等差数列,成等比数列,则(???)
A.900 B.600 C.450 D.300
8.设定义在上的函数的导函数为,且,则(????)
A.4 B.8 C.16 D.32
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.某高中举行的纪念红军长征出发90周年的知识答题比赛,对参赛的2000名考生的成绩进行统计,可得到如图所示的频率分布直方图,若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值,则下列说法中正确的是(????)
A.参赛成绩的众数约为75分
B.用分层抽样从该校学生中抽取容量为200的样本,则应在内的成绩抽取30人
C.参赛成绩的第75百分位数约为82.5分
D.参赛成绩的平均分约为72.8分
10.已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴,则下列结论正确的有(????)
A.的取值范围是
B.若的图象关于点对称,则在上单调递增
C.在上的最小值不可能为
D.若的图象关于直线对称,函数是常数,有奇数个零点,则
11.已知抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于A,B两点,其中点在第一象限.若动点在的准线上,则(???)
A.的最小值为0
B.当为等腰三角形时,点的纵坐标的最大值为
C.当的重心在轴上时,的面积为
D.当为钝角三角形时,点的纵坐标的取值范围为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.在正三棱柱中,,点为的中点.Q是棱上一点,且AQ⊥平面,则.
13.若的展开式中,项的系数为?8,则的最大值为.
14.已知函数在上单调递减,则的最大值为.
四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15.(13分)已知命题:对任意实数,不等式恒成立;命题:关于的方程无实数根.
(1)若p为真命题,求实数的取值范围,
(2)若的题有且只有一个是真命题,求实数的取值范围.
16.(15分)为了改善学校办公环境,某校计划购买两种型号的笔记本电脑共15台,已知A型笔记本电脑每台5200元,B型笔记本电脑每台6400元,设购买A型笔记本电脑台,购买两种型号的笔记本电脑共需要费用元.
(1)求出关于的函数解析式.
(2)若因为经费有限,学校预算不超过9万元,且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多,请问:学校共有几种购买方案?哪种方案费用最少?求出费用最少的方案所需费用.
17.(15分)如图所示,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面,点为的三等分点,满足.
(1)设平面与直线相交于点,求证:;
(2)若,求直线与平面所成角的大小.
18.(17分)古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中,,动点满足,设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)若直线与曲线交于两点,求AB;
(3)若曲线与轴的交点为,直线与曲线交于两点,直线与直线交于点,证明:点在定直线上.
19.(17分)已知数列的满足.
(1)求数列的通项公式.
(2)设数列前项和为,求.
(3)证明:.
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