冲刺一　把握热点动态，做到有的放矢.docVIP

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冲刺一把握热点动态，做到有的放矢

新情境试题重视数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，是近年高考考查的热点内容.试题往往使用贴近时代、贴近社会、贴近生活的素材，以日常生活、工业生产、国家发展、社会进步中的实际问题为背景，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，让学生充分感受到数学的应用价值，强调以素养为导向，深受命题专家的青睐.试题多以图、表、文并用的方式呈现，各种题型都有可能出现.

动态1突出五育并举，培养时代新人

【例1】(女排精神/2021·天津检测)中国女排的影响力早已超越体育本身的意义，不仅是时代的集体记忆，更是激励国人继续奋斗、自强不息的精神符号.某大学组织学生看过电影《夺冠》后，举行了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高.现随机抽取800个学生进行体能测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据(单位：分)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100]六组，则成绩落在[70，80)内的人数为()

A.12 B.120

C.24 D.240

答案D

解析易知题图中所有小长方形(包括区间[70，80)对应的小长方形)的面积之和等于1，则成绩落在[70，80)内的频率为p＝1－10×(0.01＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)＝0.3.

因为一共抽取800个学生进行体能测试，所以样本容量为800，

所以成绩落在[70，80)内的人数为800×0.3＝240.

点评1.本题以“电影《夺冠》”为背景考查频率分布，体现了“德育的素养导向，学习‘女排精神’”，立德树人.

2.求解的关键是理解频率分布直方图的特征，用频率估计总体分布，特别注意，小长方形的面积表示数据分布在对应区间内的频率.

【例2】(智育为先/2021·天津调研)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤1，若将军从点P(1，－2)处出发，河岸线对应的直线方程为x＋3y＝5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”问题中的最短总路程为()

A.4 B.5

C.eq\f(3\r(10),2) D.eq\r(5)－1

答案A

解析如图所示，设点P(1，－2)关于直线x＋3y＝5的对称点为Q(a，b)，连接PQ，OQ.

则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b＋2,a－1)＝3，,\f(a＋1,2)＋3×\f(b－2,2)＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝4，))

所以Q(3，4)，所以|OQ|＝eq\r(32＋42)＝5，

又圆x2＋y2＝1的半径为1，

所以“将军饮马”问题中的最短总路程为4.

点评1.本题以“唐代诗人李颀的诗《古从军行》中的数学问题”为背景，考查直线与圆的位置关系、对称性问题与最值问题，体现了智育的素养导向，同时考查中国传统文化，提升学生修养.

2.破解此类最值问题的关键在于“化折为直”，即把一动点到两定点的距离和的最小值问题，通过对称思想，转化为两点间的距离问题.

【例3】(美育为魂/2021·湖南衡阳八中检测)攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.以如图所示的建筑物为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比值为()

A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(2),4)

C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(3)

答案B

解析设正四棱锥的底边为a，斜高为h，

则底面积为a2，所以该正四棱锥的侧面积为3a2，

则2ah＝3a2，所以h＝eq\f(3,2)a.①

设该正四棱锥的内切球的半径为r，作出示意图，如图所示，其中E，F分别为AB，CD的中点，H为底面的中点，PF与球O相切于点G.

易知△OGP与△FHP相似，所以有eq\f(OG,HF)＝eq\f(PO,PF)，

所以eq\f(r,\f(a,2))＝eq\f(\r(h2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2))－r,h).②

联立①②，得r＝eq\f(\r(2)a,4)，所以eq\f(r,a)＝eq\f(\r(2),4)，

则此正四棱锥