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冲刺一把握热点动态,做到有的放矢

新情境试题重视数学本质,突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用,是近年高考考查的热点内容.试题往往使用贴近时代、贴近社会、贴近生活的素材,以日常生活、工业生产、国家发展、社会进步中的实际问题为背景,考查学生运用数学知识解决实际问题的能力,让学生充分感受到数学的应用价值,强调以素养为导向,深受命题专家的青睐.试题多以图、表、文并用的方式呈现,各种题型都有可能出现.

动态1突出五育并举,培养时代新人

【例1】(女排精神/2021·天津检测)中国女排的影响力早已超越体育本身的意义,不仅是时代的集体记忆,更是激励国人继续奋斗、自强不息的精神符号.某大学组织学生看过电影《夺冠》后,举行了“学习女排精神,塑造健康体魄”的主题活动,一段时间后,学生的身体素质明显提高.现随机抽取800个学生进行体能测试,成绩的频率分布直方图如图所示,数据(单位:分)分成[40,50),[50,60),…,[90,100]六组,则成绩落在[70,80)内的人数为()

A.12 B.120

C.24 D.240

答案D

解析易知题图中所有小长方形(包括区间[70,80)对应的小长方形)的面积之和等于1,则成绩落在[70,80)内的频率为p=1-10×(0.01+0.015+0.015+0.025+0.005)=0.3.

因为一共抽取800个学生进行体能测试,所以样本容量为800,

所以成绩落在[70,80)内的人数为800×0.3=240.

点评1.本题以“电影《夺冠》”为背景考查频率分布,体现了“德育的素养导向,学习‘女排精神’”,立德树人.

2.求解的关键是理解频率分布直方图的特征,用频率估计总体分布,特别注意,小长方形的面积表示数据分布在对应区间内的频率.

【例2】(智育为先/2021·天津调研)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤1,若将军从点P(1,-2)处出发,河岸线对应的直线方程为x+3y=5,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”问题中的最短总路程为()

A.4 B.5

C.eq\f(3\r(10),2) D.eq\r(5)-1

答案A

解析如图所示,设点P(1,-2)关于直线x+3y=5的对称点为Q(a,b),连接PQ,OQ.

则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b+2,a-1)=3,,\f(a+1,2)+3×\f(b-2,2)=5,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=3,,b=4,))

所以Q(3,4),所以|OQ|=eq\r(32+42)=5,

又圆x2+y2=1的半径为1,

所以“将军饮马”问题中的最短总路程为4.

点评1.本题以“唐代诗人李颀的诗《古从军行》中的数学问题”为背景,考查直线与圆的位置关系、对称性问题与最值问题,体现了智育的素养导向,同时考查中国传统文化,提升学生修养.

2.破解此类最值问题的关键在于“化折为直”,即把一动点到两定点的距离和的最小值问题,通过对称思想,转化为两点间的距离问题.

【例3】(美育为魂/2021·湖南衡阳八中检测)攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑、园林建筑.以如图所示的建筑物为例,它属重檐四角攒尖,它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥,若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍,则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比值为()

A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(2),4)

C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(3)

答案B

解析设正四棱锥的底边为a,斜高为h,

则底面积为a2,所以该正四棱锥的侧面积为3a2,

则2ah=3a2,所以h=eq\f(3,2)a.①

设该正四棱锥的内切球的半径为r,作出示意图,如图所示,其中E,F分别为AB,CD的中点,H为底面的中点,PF与球O相切于点G.

易知△OGP与△FHP相似,所以有eq\f(OG,HF)=eq\f(PO,PF),

所以eq\f(r,\f(a,2))=eq\f(\r(h2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2))-r,h).②

联立①②,得r=eq\f(\r(2)a,4),所以eq\f(r,a)=eq\f(\r(2),4),

则此正四棱锥

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