重难点专题01：直线系方程-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第一册)（解析版）.docx

重难点专题01：直线系方程

知识梳理

曲线系也叫曲线族或曲线束，是指具有某种性质的曲线的集合；曲线系方程是指含有参数的二元方程，当参数在其取值范围内变化时分别对应的所有这些曲线；其中最简单的就是具有某种性质的直线系与直线系方程；

1、与直线平行的直线系方程为：为参数)；

2、与直线垂直的直线系方程为：为参数)；

3、过直线与的交点的直线系方程

为：(不含为参数).

考点01：平行的直线系方程

1．下列与直线平行的直线的方程是（????）.

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据平行直线斜率相等，截距不等可得答案.

【详解】直线斜率为，纵截距为，

A选项：直线斜率为，纵截距为，符合；

B选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；

C选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；

D选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；

故选：A.

2．过点且与直线垂直的直线方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意，根据直线垂直，设直线方程，将已知点代入方程，可得答案.

【详解】由直线方程，可得与该直线垂直的直线方程为，

将代入中，可得，解得，

故直线方程为.

故选：B.

3．过点且与直线平行的直线方程为.

【答案】

【分析】根据题意设所求直线为，然后将点的坐标代入可求出，从而可求得直线方程

【详解】设所求直线方程为，

因为点在直线上，

所以，解得，

故所求直线方程为.

故答案为：

4．若直线与直线平行，则a的值为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用直线平行的性质得到关于的方程组，从而得解.

【详解】因为直线与直线平行，显然，

所以，即，解得，

所以.

故选：D.

5．过点且与直线平行的直线方程为．

【答案】

【分析】根据平行关系可设直线方程为,将点代入求得,从而得到结果

【详解】设与直线平行的直线为,

在直线上,

,

该直线方程为：

故答案为

【点睛】本题考查根据直线平行关系求解直线方程问题，属于基础题

考点02：垂直的直线系方程

6．已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程是．

【答案】

【分析】根据斜率乘积为求得，进而求得直线方程．

【详解】依题意，可设直线的方程为，由两直线垂直得，解得，

∴直线的方程为即，

故答案为：．

7．已知直线和，若，则.

【答案】

【分析】直接根据直线垂直公式计算得到答案.

【详解】直线和，，

则，解得.

故答案为：.

8．已知，，直线与直线垂直，则的最小值是.

【答案】

【分析】两直线垂直说明它们的法向量互相垂直，得出的关系式，进而运用基本不等式求出的最小值.

【详解】的法向量的法向量

两直线垂直得，即

当且仅当时取等号.

故答案为：.

9.求过点且与直线垂直的直线方程.

【解析】设：，因为过点，所以，故直线方程为.

考点03：共点的直线系方程

10．过两直线和的交点和原点的直线方程为（）

A．3x-19y=0 B．19x-3y=0

C．19x+3y=0 D．3x+19y=0

【答案】D

【分析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可.

【详解】设过两直线交点的直线系方程为，

代入原点坐标，得，解得，

故所求直线方程为，即.

故选：D.

11．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程.

【详解】依题意两直线和的交点为，

所以在直线上，

所以过两点所在直线方程为，

故选：B

12．经过点和两直线；交点的直线方程为.

【答案】

【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解.

【详解】设所求直线方程为，

点在直线上，

，

解得，

所求直线方程为，即．

故答案为：.

13．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为．

【答案】

【分析】先设经过交点的直线系，应用斜率求出参数即可得直线方程.

【详解】设直线l的方程为（其中为常数），即①．

又直线l的斜率为，则，解得．

将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程．

故答案为：.

14．已知直线．

(1)求证：直线过定点；

(2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程．

【答案】(1)直线过定点，证明见详解；

(2)

【分析】（1）变形直线方程，分离参数，利用直线系方程，解方程组求出定点，即可证明.

（2）设直线方程，利用过点作直线使得直线与两负半轴围成的三角形面积等于4，得到方程组，即可求出直线方程.

【详解】（1）证明：方程化为：

，

由直线系方程的性质有：，解得，

故直线恒过点

（2）设直线，

则由题意得：，