全国大学生数学竞赛(非数学专业)复习讲义.docVIP

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全国大学生数学竞赛（非数学专业）

复

习

讲

义

微分学

一、基本概念与内容提要

1.由参数方程确定的函数的导数

设 ， 则

或

2.多元函数微分学

二、常考例题讲解

用基本方法求导数

设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则________________.

已知函数且，确定，使得函数满足

.

设函数有二阶连续的导数，，

求.

已知，求.

5.设函数的所有二阶偏导数都连续，且，，求.

解：两边对求导，得到：，代入求得：；

两边对求导，得到：；

两边对求导，得到.

以上两式与联立，又二阶导数连续，所以，故

用全微分求解隐函数

设是方程确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数，以及，求证：和

导数与极限、积分、微分方程等结合求函数表达式

设函数在上连续，在上可导，已知且函数满足

（1）.求函数的表达式；

（2）.若求

7.设函数y=f(x)由参数方程确定，且，其中具有二阶导数，曲线与在t=1处相切，求函数.

8．设一元函数当时有连续的二阶导数，且，又满足方程，试求的表达式。

解：,

注，称为（三维）拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程.因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名.在一般条件下解拉普拉斯方程超出考试范围.本题讨论特殊条件下的拉普拉斯方程求解问题.

9.设,

.

分析：函数是的函数，可以考虑用极坐标进行转化，利用求微分方程的方法得到表达式。

解：令，则，

同理可得

积分得

.

10.已知函数z=z(x,y)满足，设，对函数，求证：.

证明：由题意得，则是u,v的复合函数，则

.

积分学

一、基本概念与内容提要

1.定积分性质

①若是奇函数（即），那么对于任意 的常数a，在闭区间上，.

②若是偶函数（即），那么对于任意的常数a，在闭区间上.

③若为奇函数时，在的全体原函数均为偶函数；当为偶函数时，只有唯一原函数为奇函数即.

④若是以为周期的函数（即），且在闭区间上连续可积，那么

2.二重积分的六大对称性

如果积分区域具有轴或点对称（令表示的一半区域，即中对应部分，余类推），被积函数同时具有奇偶性，那么，二重积分的计算可以得到不同程度的简化，这一技巧在研考数学中每年都必出题，务必理解记住下列6类对称性定理。

关于轴对称（关于轴对称类推）

②关于都对称

③关于原点对称

④当和关于某一直线对称，对同一被积函数，则

⑤关于轴对称

⑥万能轮换对称性

●轮换对称性描述

如果将与及交换，即,，后，积分区域方程不变，则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分值与原积分值相等，这个性质在二重积分，三重积分，曲线积分和曲面积分等六类多元函数积分中都成立。

●轮换对称性实例

3.二重积分的换元公式．

设在上连续，在平面上的某区域上具有连续的一阶偏导数且雅可比行列式

，

对应于平面上的区域，则．

4.三重积分的对称性：

⑴若关于面对称，

①若则，

②若则：

⑵若关于面对称，

①若则，

②若则：

⑶若关于面对称，

①若则，

②若则：

5.三重积分换元法

1)球坐标系代换：，

,即

=

适用于积分公式或被积函数是型.

2)柱坐标代换：，，,即

三重积分的柱坐标换元公式为：=，

适用于型被积函数或积分区域

6.高斯公式

定理设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，P（x,y,z）,Q(x,y,z),R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数，则有公式：

或

这里是由的整个边界边界曲面的外侧构成，为上点（x,y,z）处的法向量的方向余弦.

二、常考例题讲解

一元积分中用方程、变限积分求导等来解题

设是连续函数，且满足,则____________.

已知，求

设是连续函数，且满足,求

分段函数与含有绝对值号的定积分计算中，若被积函数为分段函数，先以分段点将积分区间分为若干个子区间，再利用可加性分段求解；若被积函数为绝对值函数，先令绝对值为零，求出根，并由此将积分区间分成若干段，再逐段求解.（有时需要适当的做变量替换）

计算积分表示的取整函数）.

计算积分.

计算积分(表示正整数）.

计算积分.

利用奇偶性和周期性简化定积分计算，若遇对称区间，先考虑被积函数是否具有奇偶性；若积分上下限中出现，被积函数出现三角函数，可用周期性积分性质.

计算积分

9.求定积分，其中为自然数。

解：注意到是偶函数且以为周期，因此利用性质可以简化计算

计算积分

用二重积分换元法来处理（）

11.计算积分,其中所围区域.

解：令，

12.计算积分.

解：设；

用递推公式来求解积分

设，求

利用二重积分积分区域对称与被积