人教版2020年九年级数学第10讲几何问题探究线段的和差及旋转相关问题教案.pdf

几何问题探究——线段的和、差及旋转相关问题

知识点截长补短辅助线的运用、旋转的性质，相似三角形的性质与判定；相似三角形

的综合；

教学目标熟练掌握线段和差问题的证明方法；

教学重点能够灵活的运用旋转的性质去证明图形中线段的关系；

教学难点灵活运用相似、旋转、全等证明方法探究图形的线段问题；

知识讲解

考点1旋转变换

旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形

变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前

后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋

转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于

旋转角。把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，

这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。

特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另

一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的

对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心

对称图形。

在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。

考点2两条线段之间的数量关系

在数量关系的猜想中，证明两条线段相等的情况较多，有时也出现证明两条线段的倍数关系，如AB=2CD

或AB2CD等。在证明两条线短相等的过程中，可以根据特殊四边形的性质证明两条线段相等，也可

以证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质证明两条线段相等。证明两条线段的倍分关系时，利用

构造基本图形模型证明，具体情况如下：

1

1.利用三角形的中位线或直角三角形证明ab；

2

2.利用等腰三角形证明a2b；

3.利用含30°角的直角三角形证明a3b等；

考点3两条线段之间的位置关系

在位置关系猜想中，关键是如何证明，方法如下：

1

1.在证明垂直关系时，由垂直定义，即两条线段相交，所夹的角是90°，一般利用直角三角形的两个

锐角互余的角度进行证明；

2.在证明两条线段平行时，大多是根据平行线的判定方法进行证明即可；

总之证明位置关系，需要根据图形的性质，利用三角形全等进行证明，有时利用相似。在解答时，根据

具体的题目条件，分解出基本图形，灵活掌握并选择方法证明。

考点4三条线段之间的数量关系

当要探究三条线段a、b、c之间的数量关系时，解题步骤为：

1.将其中的两条线段的和（差）转化为另一条线段d的长，即通过证明三角形全等得出两条线段相等，

三条线段之间的数量关系转化为两条线段之间的数量关系；

2.在特殊三角形中找到d与另一条线段之间的关系，当这两条线段在同一个特殊三角形中，通过特殊三

角形的性质，得出这两条线段之间的数量关系；当变化后两条线段在同一四边形中，可以证明四边形为

特殊四边形，通过特殊四边形的性质，得出这两条线段之间的数量关系；

3.结合1.2结论，直接写出三条线段之间的数量关系。

例题精析

考点一线段和差问题

例1在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．

（1）如图①，当∠DAB=120°，∠B∠D=90°时，求证：AB+AD=AC．

（2）如图②，当∠DAB=120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，

并给予证明．

（3）如图③，当∠DAB=90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写

出你的猜想，并给予证明．

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几何问题探究——线段的和、差及旋转相关问题

知识点截长补短辅助线的运用、旋转的性质，相似三角形的性质与判定；相似三角形