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概率论与数理统计教学大纲

（总学分：3总上课时数：48）

东南大学数学系

一、课程的地位、作用与任务

随着近代科学技术的迅速发展，使得我们研究的对象日俱复杂，过去用确定性数学研究的问题现在必须用随机的观念去看待，因为自然界的一切现象或多或少要受到随机因素的影响。概率论、数理统计就是研究随机现象规律性的数学学科。可以毫不夸张地讲，概率统计理论和方法已经渗透到工农业生产，国民经济各个部门，科学技术的各个领域。概率论、数理统计已经成为经济管理；通讯信息；自动控制；计算机科学；生物医学；交通规划；机械设备、仪器仪表、建筑结构等学科体系的一块非常重要的理论基石。开设本课程的目的，是使学生初步掌握概率统计的理论和方法，培养学生运用概率统计的理论和方法解决实际问题的能力，以便能够适应科学技术高速发展的需要。

二、教学内容与基本要求

1．随机事件与概率

(1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念。掌握随机事件之间的关系。

(2)理解概率、条件概率的概念。掌握概率的基本性质。掌握古典概率模型、几何概率模型中随机事件的概率计算。

(3)掌握概率的对立事件公式、概率的加法公式、乘法公式、减法公式、全概率公式、Bayes公式并应用这些公式计算有关随机事件的概率。

(4)理解随机事件独立性的概念，掌握独立事件的有关性质。掌握利用事件的独立性进行概率计算。理解独立重复试验的概念，掌握独立重复试验中有关事件的概率计算。

2．随机变量及其概率分布

(1)理解随机变量、随机变量的分布函数、离散型随机变量的分布律、连续型随机变量的概率密度的概念，掌握它们的性质。

(2)掌握利用随机变量的概率分布计算有关事件的概率，掌握已知离散型随机变量的分布律、连续型随机变量的概率密度求其分布函数的方法。

(3)掌握一些常见的随机变量及其概率分布的概念：（0—1）分布、二项分布、Poisson分布、几何分布、负二项分布、均匀分布、指数分布、正态分布及其应用。

(4)了解Poisson定理的条件和结论，会用Poisson分布近似表示二项分布。

(5)掌握根据自变量的概率分布求随机变量函数的分布的原理。会求线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的分布。

3．随机向量及其概率分布

（1）理解二维随机向量、联合概率分布函数、联合分布律、联合分布密度的概念，掌握它们的性质。会利用联合分布求有关随机事件的概率。

（2）理解边缘分布函数、边缘分布律、边缘分布密度的概念，掌握已知联合分布求边缘分布的方法。

（3）理解随机变量独立性的概念，掌握离散型、连续型随机变量独立性的判断方法。

（4）掌握二维均匀分布、二维正态分布，并理解二维正态分布概率密度中参数的概率意义。

（5）掌握随机向量函数的分布如：和、乘积、商、最大项、最小项、矢径等分布的求法。

4．随机变量的数字特征

(1)理解随机变量的数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数等概念，掌握它们的性质。

(2)掌握常见分布如：（0—1）分布、二项分布、Poisson分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数字特征。

(3)掌握按定义求数字特征以及利用数字特征的性质求数字特征的方法。会根据随机变量、随机向量的概率分布求随机变量的函数、随机向量的函数的数学期望。

(4)理解随机变量不相关的概念，掌握随机变量独立与不相关的关系。

5．大数定理和中心极限定理

（1）理解随机变量序列以概率收敛的概念以及其实际含义。

(2)掌握切比雪夫（Chebyshev）不等式，理解切比雪夫大数定理、辛钦(Khinchine)大数定理、贝努里（Bernoulli）大数定理。

(3)理解随机变量序列服从中心极限定理的概念，掌握利用勒维—林德贝格（Levy—Lindberg）中心极限定理、德莫弗—拉普拉斯（DeMoive—Laplace）中心极限定理近似求概率的方法。

6．数理统计的基本概念

（1）理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差以及样本矩的概念。

（2）理解—分布、t—分布、F—分布的概念，掌握其有关的性质。了解分布的分位点的概念，会查表计算。

（3）掌握正态总体中的统计量的分布，如：

7．总体分布中未知参数的估计

（1）理解参数点估计、估计量、估计值的概念，掌握求参数点估计量的两个常用的方法：矩估计法和最大似然估计法。

（2）理解评选估计量的标准：无偏性、有效性（最小方差性）、相合性（相容性，一致性），掌握验证估计量的无偏性、有效性、相合性的方法。

（3）理解未知参数区间估计的概念，掌握求单个正态总体均值和方差的置信区间，两个正态总体均值差和方差比的置信区间的方法。

8．假设检验

（1）理解假设检验的基本原理，掌握假设检验的基本步骤。

（2）掌握单个正态总体和两个正态总体均值与方差的假