2024-2025学年广东省广外实验高二上学期10月月考数学试卷含详解.docx

2024学年第一学期高二第一次月考

数学

一,单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1.已知单位向量,满足,则与的夹角为（）

A B. C. D.

2.某校文艺部有4名学生,其中高一,高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为（）

A. B. C. D.

3.已知事件A与B互斥,且,,则（）

A. B. C. D.

4.在中,,且的面积为,则边的长为（）

A1 B. C.2 D.

5.设为两个平面,为两条直线,且.下述四个命题：

①若,则或②若,则或

③若且,则④若与,所成的角相等,则

其中所有真命题的编号是（）

A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④

6.给出下列命题：

①空间向量就是空间中的一条有向线段.

②在正方体中,必有.

③是向量的必要不充分条件.

④若空间向量满足,,则．

其中正确的命题的个数是（）．

A.1 B.2 C.3 D.0

7.如图,在平行六面体中,,,,则（）

A.12 B.8 C.6 D.4

8.一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,其闭合的概率都是,且是否闭合是相互独立的,则灯亮的概率是()

A. B.

C. D.

二,多项选择题（本大题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分）

9.已知i为虚数单位,下列说法正确的是（）

A.若复数,则

B.若复数z满足,则复平面内z对应的点到实轴的距离等于到虚轴的距离

C.若是纯虚数,则实数

D.复数的虚部为

10.已知为两个事件,,,则的值可能为（）

A B. C. D.

11.如图,在正方体中,分别是的中点．下列结论正确的是（）

A.与垂直 B.与平面

C.与所成的角为 D.平面

三,填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）

12.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵中,分别是,的中点,是的中点,若,则____________.

13.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为______.

14.和两条异面直线都垂直的直线叫做两条异面直线的公垂线,而两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段．正方体中,异面直线和的公垂线段是_______,三棱锥的棱长都为1,则异面直线和的公垂线段的长度是_______．

四,解答题（本大题共5小题,共77分．解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤）

15.如图,在平行六面体中,,,,,,是中点,设,,.

（1）求的长.

（2）求异面直线和夹角的余弦值.

16.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月产量如下表(单位:辆):

轿车A

轿车B

轿车C

舒适型

100

150

z

标准型

300

450

600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.

（1）求z的值.

（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;

（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

17.如图,在四面体中,,且,设P为的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值.

（2）线段上是否存在一点Q,满足,若存在,确定的值,若不存在,请说明理由．

18.如图,长为1的正方体中,,分别为,的中点,在棱上,且,为的中点.

（1）求证：.

（2）求的长.

（3）求与所成角的余弦值.

19.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办,本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同,近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利,而在双败赛制下,每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局,因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍,淘汰赛制下会将