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2018必威体育精装版五年级奥数.数论.余数性质及同余定理(B级).学生版--第1页

余数性质及同余定理

知识框架

一、带余除法的定义及性质

1.定义:一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),若有a÷b=q……r,也就是a=b×q+r,

0≤r<b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里:

(1)当r0时:我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商

(2)当r0时:我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商

一个完美的带余除法讲解模型:如图

这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数

的角色,经过打包后共打包了c捆,那么这个c就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。

2.余数的性质

⑴被除数除数商余数;除数(被除数余数)商;商(被除数余数)除数;





⑵余数小于除数.

二、余数定理:

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。

例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为

2

2.余数的加法定理

a与b的差除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之差。

例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23-16=7除以5的余数等于2,两个余数差3-1=

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2.

当余数的差不够减时时,补上除数再减。

例如:23,14除以5的余数分别是3和4,23-14=9除以5的余数等于4,两个余数差为3+5-4

=4

3.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。

例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。当余数的和比除

数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.

乘方:如果a与b除以m的余数相同,那么an与bn除以m的余数也相同.

一、同余定理

1、定义

整数a和b,除以一个大于1的自然数m所得余数相同,就称a和b对于模m同余或称a和b在

模m下同余,即a≡b(modm)

2、同余的重要性质及举例。

〈1〉a≡a(modm)(a为任意自然);

〈2〉若a≡b(modm),则b≡a(modm)

〈3〉若

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