高中数学北师大版必修第一册课件第章1生活中的变量关系.pptxVIP

第二章函数

§1生活中的变量关系

现实世界充满着变量。一些变量之间存在着依赖关系。

你能举出一些生活中存在依赖关系的变量吗?

在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念。

观察生活中现象，体会变量之间的关系(数学抽象)

会判断哪些变量间的依赖关系能构成函数(逻辑推理)

课标要求

探究一生活中的变量关系

例1.在高速公路加油站地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料。储油罐的长度d、截面半径r是常量，油面高度h、油面宽度w、储油量V是变量。

储油量V与油面高度h存在着依赖关系，也与油面宽度w存在着依赖关系。

对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量V和它对应。但是取一个油面宽度w的值，却对应着两个储油量V。

例2.自2008年京津城际列车开通运营以

来，高速铁路在中国大陆迅猛发展。截

至2020年，我国高铁运营里程近4万公里，右图展示我国高铁年运营里程变化。

从高铁年运营里程变化图中不难看出：

(1)随着时间的变化，高铁年运营里程在变化，它与年份存在

着依赖关系；

(2)从2008年到2020年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比2014年增加的最多；

(3)如果从增速上看2009年的增速最大，增速超过300%

【知识回顾】

在初中数学中，我们曾学习过：

如果在一个变化过程中，有两个变量x和y,对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它相对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

探究二变量能否构成函数关系的判断

在现实生活中，凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”。

依照这个概念，在以上两个例题中，储油量V是油面高度h的函数，高铁运营里程是年份时间的函数，但储油量V不是油面宽度w的函数。

例3.弹簧的伸长量x与弹力y满足函数关系y=kx,其中k为劲度系数。对于变量

“伸长量”的每一个值，变量“弹力”

都有唯一确定的值和它对应，因此， 是的函数。

弹力伸长量

例4.下表记录几个不同气压下水的沸点，对于变量“气压”

的每一个值，变量“沸点”都有唯一确定的值和它对应，因此 是的函数。

沸点气压

气压/(105Pa)

0.5

1.0

2.0

5.0

10

沸点/℃

82

100

121

152

180

例5.下图为某地一天的气温变化图，曲线反应了不同时间该地的气温变化，从图中可以反映出在一天中的任何一个“时刻”都有唯一确定的“气温”值和它相对应。

因此我们可以将看成是的函数。

气温时间

【思考交流】

在例5中能将时间看成气温的函数吗?

提示：不能，因为对于任何一个气温值，时间并不是唯一确定的值与它相对应，例如气温为0℃时，对应

了8点和21点两个时间。因此不能将时间看成气温的函数。

【变式训练】

某电器商店以2000元/台的价格购进了一批电视机，然后以

2100元/台的价格售出。随着售出台数的变化，商店的利润是怎样变化的?利润和售出台数之间存在函数关系吗?

【解析】

由题意可知每台电视机的利润为：2100元-2000元=100元随着售出台数的增加，商店的利润也在增加

如果设商家的利润为y,售出电视的台数为x,

则利润与台数有y=100x的关系

对于销售台数x的任何一个取值，都有唯一确定的利润y与之相对应，因此利润是台数的函数。

唯一确定的理解，注意对于自变量的定语是任意一个，对于因变量的定语是唯一确定，分清楚究竟谁是谁的函数。

数学抽象、逻辑推理

1.下列变化过程中，变量之间存在怎样的依赖关系?

其中哪些是函数关系?

(1)地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系；

(2)在空中做斜抛运动的铅球，铅球距离地面的高度与时间的关系；

(3)某超市一天的销售额与客流量之间的关系。

【解析】

(1)地球绕太阳公转的过程中距离与时间存在周期性变化的依赖关系，在某段时间内两者距离随时间增大而减少，在另一段时间内随时间增大而增大。对于任何一个确定的时间，有唯一确定的距离与之对应，因此“距离”是“时间”的函数。

(2)在空中做斜抛运动的铅球，铅球距离地面的高度与时间存在依赖关系，对于对于任何一个确定的时间，有唯一确定的高度与之对应，因此“高度”是“时间”的函数。

【解析】

(3)某超市一天的销售额与客流量之间存在对于变量“客流量”的每一个值，变量“销售额”都有唯一确定的值和它对应，因此“销售额”是“客流量”的函数。

2.坐电梯上升时，电梯距离地面的高