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函数、映射到底是什么？

在生活中笔者问过许多人,函数是什么？大家都是笑一笑、摇摇头，不知道该怎么讲。最近笔者尝试写《老唐讲微积分》一书，先把函数这一节的部分内容发上来，请大家指正。一、函数的前世要学懂微积分，第一个要掌握数学概念就是函数，它是微积分的研究对象。（1）?函数概念要解决什么问题？它产生于16、17世纪，起因是生产和科学技术的发展要求数学研究运动和变化中的数量关系。那么如何研究？数学家们首先创造一个变量的概念，然后紧接着又定义一个函数概念，函数就是研究变量一个工具和办法。函数要描述一个什么内容？概括性地讲，函数要描述两个变量之间的相互依赖、转化的关系，这就是函数的本质。（2）伟大的概念首先，它是从常量数学迈进变量数学的标志。16世纪以前，数学研究的多为静止不动的常量，称为常量数学或者初等数学。16世纪，变量和函数概念产生标志着数学从常量时代进入到变量时代。其次，它是数学中最重要的概念之一，有着无比重要地位，在高等数学和近代数学中处于中心地位。可以讲，没有函数就没有高等数学和近代数学。克莱因在其名著《高观点下的初等数学》中曾说过：“在过去两个世纪的一切数学概念中，凡用到数学思想的地方，函数概念总起着主导的作用。函数是数学思考和科学思考的心脏和灵魂。”美国数学家柯朗与鲁滨逊在其名著《数学是什么》中说：“近代数学的主体，主要围绕着函数和极限的概念。”再其次，几乎所有的科学领域都离不开函数概念。它不仅在数学、物理、化学、生物、建筑、机械、电子等自然科学与工程技术学科中有着广泛应用，大到宇宙起源、天体的运行，小到原子、分子的运动，而且在世界人口的增长、金融市场的变化、国民经济的发展、工程技术的创新等社会科学与人文学科也是一种有效研究方法。（3）函数一词的最初含义函数概念在其产生后的200多年间经历了五次大的演变，这里面既有质的改变，也有形式内容上的完善，其中前几次演变与微积分学有密切关系。17世纪上半叶，伽利略和笛卡尔最先提出了函数的思想。笛卡尔在1637年出版的《几何学》中引入坐标系，他注意到平面上点的坐标（x，y）中的y依赖于x变化。1673年微积分的创立者之一德国数学家莱布尼茨最早使用了“functoin（函数）”一词，最初函数表示幂（），后来又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用“流量”来表示变量间的关系。17世纪下半叶微积分初创时，函数没有明确一般意义，最初含义是曲线上变动点（量），大部分函数被当作曲线来研究。而微积分初创期，研究对象就是曲线。所以我们在研究和理解微积分时，在许多不需要太严格的情况下，可以把函数理解为曲线，这样便于学习。（4）解析式说随后微积分的发展促使函数概念用解析表达式（即联系两个变量之间关系的数学算式）表示，这是函数概念的第一次重大演变。1694年，瑞士数学家约翰伯努利首先给出“解析式说函数概念”。约翰伯努利的学生、数学王子、瑞士数学家欧拉1748年在其著作《无穷小分析论》中对伯努利的定义作部分修正：一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式。同时，欧拉发明利用英语单词“function＂的首个字母f当作函数符号f(x）。查词典可知，函数的英文“functoin”一词有“(机器等)工作、运行”的释义。所以，在当时通俗形象理解，函数就是一种运算机器，以f(x)=为例，它就是一台“平方机器，进去的是±5，出来的是25；若进去的是“□”，出来的就是“□^2”！函数的解析式说定义在18世纪大部分时间占有统治地位，它的优点是“解析式”是具体可以看到的东西，对帮助初学者理解函数概念是十分有益的。实际上，微积分要研究的大多数函数都是有解析式。另外，利用函数解决实际问题时，需要建立函数模型，只有找到数学解析式，才能通过讨论和计算使得问题得以解决。它的不足是，把用图形、表格及其他方式给出的函数都排斥在外。总结一下，函数的最初含义和解析式定义是最能反映函数直观特征，是最容易被普通人所理解的通俗讲法。虽然它没有反映出函数的本质——两个变量之间的对应关系，其中最显著的对应关系就是相互依赖关系。（5）中文“函数”的含义1859年，清代著名数学家（清代数学第一人）李善兰将美国一本代数和微积分教材翻译中文（中国第一本微积分教材），把“function”翻译成“函数”。在中国古代，“函”与“含”通用，都有“包含”的意思。书中定义为“凡式中含天，为天之函数”，中国古代用天、地、人、物四个字表示四个不同的未知数或未知量，因此，该定义翻译成现代文就是“凡是公式中含有变量x，则该式子称为x的函数”。书中又解释道：“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”,即一个量中包含另一个量，则这个量就是另一量的函数。李善兰所译的函数概念是解析式说定义。举例子说明一下。