2024年高考数学真题和模拟题分类汇编专题09不等式含解析.docxVIP

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专题09不等式

一、选择题部分

1.(2024?高考全国乙卷?文T5)若满意约束条件则的最小值为()

A.18 B.10 C.6 D.

【答案】C.

【解析】由题意,作出可行域,如图阴影部分所示,

由可得点,转换目标函数为,

上下平移直线,数形结合可得当直线过点时,取最小值,

此时.故选C.

2.(2024?高考全国乙卷?文T8)下列函数中最小值为4的是()

A. B.

C. D.

【答案】C.

【解析】对于A,,当且仅当时取等号,所以其最小值为,A不符合题意;

对于B,因为,,当且仅当时取等号,等号取不到,所以其最小值不为,B不符合题意;

对于C,因为函数定义域为,而,,当且仅当,即时取等号,所以其最小值为,C符合题意;

对于D,,函数定义域为,而且,如当,,D不符合题意.故选C.

3.(2024?浙江卷?T5)若实数x,y满意约束条件,则最小值是()

A. B. C. D.

【答案】B.

【解析】画出满意约束条件的可行域,

如下图所示:

目标函数化为,

由,解得,设,

当直线过点时,

取得最小值为.

4.(2024?河南郑州三模?理T7)若x,y满意条件,当且仅当x=5,y=6时,z=ax﹣y取最小值,则实数a的取值范围是()

A.(﹣1,) B.(﹣,1)

C.(﹣1,) D.(﹣∞,﹣1)∪(,+∞)

【答案】C.

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图:

其中C(5,6),3x﹣5y+15=0的斜率kAC=,y=﹣x+11的斜率kBC=﹣1

由z=ax﹣y得y=ax﹣z,

要使在C(5,6)处取得最小值,则直线在C(5,6)处的截距最大,

当a=0时,y=﹣z,此时满意条件,

当a>0时,要满意条件,则满意0<a<kAC=,

当a<0时,要满意条件,则满意kBC<a<0,

即﹣1<a<0,

综上﹣1<a<,

5.(2024?河南焦作三模?理T8)已知x,y满意约束条件,则z=ax+y(a为常数,且1<a<3)的最大值为()

A.﹣a B.2a C.﹣2a+3 D.2

【答案】D.

【解析】由约束条件作出可行域如图,

由图可知,A(0,2),

由z=ax+y,得y=﹣ax+z,由图可知,当直线y=﹣ax+z过A(0,2)时,

直线在y轴上的截距最大,z有最大值为2.

6.(2024?江西上饶三模?理T5.)已知a=log38,b=0.910,c=,则()

A.c>a>b B.a>c>b C.a>b>c D.b>c>a

【答案】A.

【解析】因为a=log38∈(1,2),b=0.910∈(0,1)),c==21.1>2,

所以c>a>b.

7.(2024?江西上饶三模?理T6.)已知A、B、C三点共线(该直线不过原点O),且=m+2n(m>0,n>0),则的最小值是()

A.10 B.9 C.8 D.4

【答案】C.

【解析】由“A、B、C三点共线(该直线不过原点O),且=m+2n”可知m+2n=1(m>0,n>0),∴=(m+2n)()=4++≥4+2=8,当且仅当即时取“=”.∴的最小值是8.

8.(2024?安徽马鞍山三模?文T11.)已知椭圆经过点(3,1),当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时,其标准方程为()

A. B.

C. D.

【答案】D.

【解析】由题意椭圆经过点(3,1),可得:(a>b>0),该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长l=4.

∴a2+b2=(a2+b2)()=10+

≥10+2=16,当且仅当a2=9b2时,即b=,a=3取等号.

∴周长l的最小值:4×4=16.∴椭圆方程:.

9.(2024?河北张家口三模?T11)已知正数a,b满意(a﹣1)b=1,则()

A.a+b≥3 B.2>4

C.2log2a+log2b≥2 D.a2+b2>2a

【答案】ACD.

【解析】由(a﹣1)b=1,得,又b>0,

所以,

当且仅当b=,即b=1时取等号;

因为,

所以当b=2时,,此时;

当且仅当b=,即b=1时取等号,

所以2log5a+log2b≥2,故C正确;

又(a﹣5)2+b2≥6(a﹣1)b=2,

当且仅当a﹣8=b时取等号,

所以a2+b2≥8+2a>2a,故D正确.

10.(2024?山东聊城三模?T11.)已知实数a、b,下列说法肯定正确的是(???)

A.?若ab,则(27)b(27)a(37)a

B.?若ba1,则logaba

【答案】B,C.

【考点】指数函数的单调性与特别点,对数值大小的比较,基本不等式

【解析】【解答】对于A,当a=0时,(27)

对于B,若ba1,则1aab,两边取对数得logaba

对于C,若a0,b0,a+2b=1,则2

≥4+24ba?ab=

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