2024年高考数学真题和模拟题分类汇编专题09不等式含解析.docxVIP

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专题09不等式

一、选择题部分

1.(2024?高考全国乙卷?文T5)若满意约束条件则的最小值为（）

A.18 B.10 C.6 D.

【答案】C．

【解析】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

由可得点,转换目标函数为，

上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，

此时.故选C.

2.(2024?高考全国乙卷?文T8)下列函数中最小值为4的是（）

A. B.

C. D.

【答案】C．

【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选C．

3.(2024?浙江卷?T5)若实数x，y满意约束条件，则最小值是（）

A. B. C. D.

【答案】B．

【解析】画出满意约束条件的可行域，

如下图所示：

目标函数化为，

由，解得，设，

当直线过点时，

取得最小值为.

4.(2024?河南郑州三模?理T7)若x，y满意条件，当且仅当x＝5，y＝6时，z＝ax﹣y取最小值，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣1，） B．（﹣，1）

C．（﹣1，） D．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）

【答案】C．

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：

其中C（5，6），3x﹣5y+15＝0的斜率kAC＝，y＝﹣x+11的斜率kBC＝﹣1

由z＝ax﹣y得y＝ax﹣z，

要使在C（5，6）处取得最小值，则直线在C（5，6）处的截距最大，

当a＝0时，y＝﹣z，此时满意条件，

当a＞0时，要满意条件，则满意0＜a＜kAC＝，

当a＜0时，要满意条件，则满意kBC＜a＜0，

即﹣1＜a＜0，

综上﹣1＜a＜，

5.(2024?河南焦作三模?理T8)已知x，y满意约束条件，则z＝ax+y（a为常数，且1＜a＜3）的最大值为（）

A．﹣a B．2a C．﹣2a+3 D．2

【答案】D．

【解析】由约束条件作出可行域如图，

由图可知，A（0，2），

由z＝ax+y，得y＝﹣ax+z，由图可知，当直线y＝﹣ax+z过A（0，2）时，

直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2．

6.(2024?江西上饶三模?理T5．)已知a＝log38，b＝0.910，c＝，则（）

A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a

【答案】A．

【解析】因为a＝log38∈（1，2），b＝0.910∈（0，1）），c＝＝21.1＞2，

所以c＞a＞b．

7.(2024?江西上饶三模?理T6．)已知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且＝m+2n（m＞0，n＞0），则的最小值是（）

A．10 B．9 C．8 D．4

【答案】C．

【解析】由“A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且＝m+2n”可知m+2n＝1（m＞0，n＞0），∴＝（m+2n）()＝4++≥4+2＝8,当且仅当即时取“＝”．∴的最小值是8．

8.(2024?安徽马鞍山三模?文T11．)已知椭圆经过点（3，1），当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时，其标准方程为（）

A． B．

C． D．

【答案】D．

【解析】由题意椭圆经过点（3，1），可得：（a＞b＞0），该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长l＝4．

∴a2+b2＝（a2+b2）（）＝10+

≥10+2＝16，当且仅当a2＝9b2时，即b＝，a＝3取等号．

∴周长l的最小值：4×4＝16．∴椭圆方程：．

9.(2024?河北张家口三模?T11)已知正数a，b满意（a﹣1）b＝1，则（）

A．a+b≥3 B．2＞4

C．2log2a+log2b≥2 D．a2+b2＞2a

【答案】ACD．

【解析】由（a﹣1）b＝1，得，又b＞0，

所以，

当且仅当b＝，即b＝1时取等号；

因为，

所以当b＝2时，，此时；

，

当且仅当b＝，即b＝1时取等号，

所以2log5a+log2b≥2，故C正确；

又（a﹣5）2+b2≥6（a﹣1）b＝2，

当且仅当a﹣8＝b时取等号，

所以a2+b2≥8+2a＞2a，故D正确．

10.(2024?山东聊城三模?T11.)已知实数a、b，下列说法肯定正确的是（???）

A.?若ab，则(27)b(27)a(37)a

B.?若ba1，则logaba

【答案】B,C．

【考点】指数函数的单调性与特别点，对数值大小的比较，基本不等式

【解析】【解答】对于A，当a=0时，(27)

对于B，若ba1，则1aab，两边取对数得logaba

对于C，若a0，b0，a+2b=1，则2

≥4+24ba?ab=