2024年高考数学三轮冲刺训练计数原理及二项式定理含解析.docVIP

计数原理及二项式定理

1、排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题．

2、二项绽开式定理的问题是高考命题热点之一.关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项绽开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用.

排列、组合

1.分类加法计数原理

完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__种不同的方法．

2.分步乘法计数原理

完成一件事，须要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1×m2×…×mn__种不同的方法．

3.排列与排列数

(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，依据肯定的依次排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个排列__．

(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的__排列数__，用符号__Aeq\o\al(m,n)__表示．

(3)排列数公式：

Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)(n，m∈N*，并且m≤n)

Aeq\o\al(n,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝n！，规定0！＝1．

4.组合与组合数

(1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个组合__．

(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__组合数__，用符号__Ceq\o\al(m,n)__表示．

(3)组合数公式：

Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝

eq\f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，并且m≤n)．

(4)组合数的性质：

性质1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)．

性质2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n)．

性质3：mCeq\o\al(m,n)＝n·Ceq\o\al(m－1,n－1)．

二、二项式定理

1·二项式定理的绽开式

公式：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)

这个公式表示的定理叫做二项式定理．在上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项绽开式，其中的系数Ceq\o\al(k,n)(k＝0，1，…，n)叫做二项式系数，式中的Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二项绽开式的通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk．

2.二项绽开式形式上的特点

(1)项数为n＋1．

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项起先，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂_排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

(4)二项式系数从Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，始终到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n)．

一、杨辉三角”与二项式系数的性质

(1)“杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．

(2)对称性：在二项绽开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)．

(3)增减性与最大值：二项式系数Ceq\o\al(k,n)，当k＜eq\f(n＋1,2)时，二项式系数渐渐增大；

当k＞eq\f(n＋1,2)时，二项式系数渐渐减小．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大．

(4)各二项式系数的和：(a＋b)n的绽开式的各项二项式系数之和为2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.

(5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＝Ceq