重难点专题04：空间向量研究空间距离问题-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

重难点专题04：空间向量研究空间距离问题

考点01：两点间的距离公式：若，，

则，

或

1．如图所示，正方体的棱长为1，M是所在棱上的中点，N是所在棱上的四分之一分点（靠近y轴），则M、N之间的距离为________．

【答案】

【分析】根据给定的几何图形，求出点M，N的坐标，再利用空间两点间的距离公式计算作答.

【详解】依题意，，所以M、N之间的距离.

故答案为：

2．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据面面垂直性质可证得平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系；利用空间中两点间距离公式可表示出；将整理为，由二次函数最值可得结果.

【详解】平面平面，平面平面，，平面，平面，

则以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

；

则，

当时，最小，最小值为.

故选：A.

考点02：点到直线距离

若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为

3．已知，，，则点A到直线BC的距离为（????）

A．2 B． C．4 D．

【答案】B

【分析】首先利用空间向量求出在上的投影，再利用勾股定理即可求解.

【详解】由题意可得，，，则在上的投影为，则点到直线的距离为.

故选：B

4．如图，在空间直角坐标系中有长方体求点B到直线的距离.

【答案】

【分析】利用空间向量的坐标运算求点到直线的距离.

【详解】

设则，

∴

∴点B到直线的距离

考点03：点到平面的距离

若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.

即

5．如图，在棱长为2的正方体中，F，G分别是，的中点，则点到平面BGF的距离为_________．

??

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量以及点到面的距离公式求解.

【详解】如图，以D为坐标原点，以DA，DC，分别为x，y，z轴建立如图坐标系，

设正方体的棱长为2，则，，，

??

∴，，，

设平面BGF的法向量为，则，令，则，

∴，则点到平面BGF的距离.

故答案为：.

6．如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆

上一点，且，.

求点到平面的距离.

解：

过作,垂足为，

由(1)得平面平面

所以平面平面，

又因为平面平面,

平面,,

所以平面，

根据等面积法,

即到平面的距离等于.

考点04：直线与平面之间的距离

当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即

7．如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；

(2)求直线到平面的距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；

（2）根据线面平行判定定理，结合空间向量点到面距离公式进行求解即可.

【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

，

，

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为；

（2）连接，显然，因为，．

所以，于是，

因为平面，平面，

所以平面，

因此直线到平面的距离就是点到平面的距离，

设平面的法向量为，

，

则有，

，

点到平面的距离为：

.

8．如图，在三棱锥中，底面ABC，，点D、E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，.

(1)求证：平面BDE；

(2)求直线MN到平面BDE的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)利用空间向量的坐标运算证明线面垂直；

(2)利用点到平面的距离公式求解.

【详解】（1）因为底面ABC，底面ABC，所以

且，

所以以为原点，所在直线为轴建系如图，

因为，，

D、E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，

所以,

设平面的法向量为，

所以所以，

令，则，

因为，平面BDE，所以平面BDE.

（2）,

直线MN到平面BDE的距离即为在平面BDE法向量上的投影，

设与的夹角为，

则有

所以，

所以直线MN到平面BDE的距离为.

考点05：两平行平面之间的距离

利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即

9.两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由空间向量求解

【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点，

且两平面的一个