2024—2025学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高三上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高三上学期期中考试数学试卷

一、单选题

(★★)1.已知集合，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.若复数满足，则的实部与虚部之和为（）

A．

B．

C．1

D．

(★★)3.已知等差数列的前6项和为60，且，则（）

A．5

B．10

C．15

D．20

(★★)4.在平面直角坐标系中，若的终边经过点，则的值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（）

A．

B．

C．6

D．

(★★)6.若曲线的一条切线方程是，则（）

A．

B．1

C．

D．e

(★★★)7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，面积为的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)8.在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如，故数列的前项和．记数列的前项和为，利用上述方法求（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★★)9.已知平面向量，的夹角为，且，若，，则下列结论正确的是（）

A．

B．与可以作为平面内向量的一组基底

C．

D．在上的投影向量为

(★★★)10.在中，内角所对的边分别为，已知，为线段上一点，则下列判断正确的是（）

A．为钝角三角形

B．的最大内角是最小内角的2倍

C．若为中点，则

D．若，则

(★★★★)11.设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（）

A．

B．设数列的前项积为，则有最大值，无最小值

C．数列中没有最大项

D．若对任意，成立，则或

三、填空题

(★★)12.若，且为第二象限角，则___________.

(★★)13.已知函数在处取得极大值，则_________．

(★★★)14.已知数列满足，，则______；设数列的前项和为，则______．（第二个空结果用指数幂表示）

四、解答题

(★★★)15.已知函数．

(1)求的最小正周期；

(2)将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求不等式的解集．

(★★★)16.数列满足．

(1)求数列通项公式．

(2)设，求数列的前n项和．

(★★★)17.在中，角的对边分别是，已知．

(1)求角；

(2)若点在边上，且，求面积的最大值．

(★★★★)18.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数是第n层球数与的和，设各层球数构成一个数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：当时，

(3)若数列满足，对于，证明：．

(★★★★)19.定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数．

(1)当时，判断是否为极值可差比函数，若是求极值差比系数，若不是说明理由；

(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

(3)若，求的极值差比系数的取值范围．