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清单01三角形的证明
【考点题型一】等腰三角形的判定和性质
1.等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
2.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
3.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
【例1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（????）
A．1 B． C．2 D．
【变式1-1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，，，为的中点，在边上取一点，连接，过点作交边于点，连接．下列结论正确的个数是个．
①；②四边形的面积等于面积的一半；③；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式1-2】.（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，和的平分线交于点E，过点作分别交、于、，，，则长为（????）
A．4 B．6 C．7 D．8
【变式1-3】.（23-24八年级上·广西来宾·期中）如图，在中，，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当时，求的度数；
(3)当为多少度时，？请说明理由．
【变式1-4】.（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点．
(1)求证：．
(2)当时，求证：平分．
【考点题型二】等边三角形的判定和性质
1.等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．
2.等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
3.等边三角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【例2】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，为线段上一点（不与点，重合），在同侧分别作正和正，连结，交交于点；连结，交交于点，与交于点．下列结论：①；②；③；④．正确的是（????）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【变式2-1】（23-24八年级上·四川攀枝花·期中）如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的有（????）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【变式2-2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点A、B、C在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M、P，交于点Q，连接，下面结论：①②??③为等边三角形??④??⑤平分，其中正确的有（??????）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2-3】.（23-24八年级上·北京朝阳·期中）已知是等边三角形，，，为的中点，连接，．
(1)如图1，点D在线段的延长线上，
①求证：；
②直接写出线段与之间的数量关系．
(2)如图2，点D在直线外，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【变式2-4】.（23-24八年级上·湖北荆门·期中）在等边中，D为边的中点，点N在边的延长线上，且．
??
(1)如图1，点M在边上，求证：；
(2)如图2，点M在边的延长线上，试探究，与等边边长的数量关系：
【考点题型三】直角三角形的判定和性质
1.直角三角形全等的判定
（1）直角三角形全等一般判定定理：
直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、AAS)
（2）直角三角形全等的HL判定定理：
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为：HL）
综上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL.
2.直角三角形的性质
1.定理：直角三角形的两个锐角互余；
2.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3.
3.推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；
4.推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
【例3】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为（）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【变式3-1】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）
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