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《异面直线》教学设计二

教学设计

一、学习新知

问题1：我们知道直线与直线有三种位置关系：相交、平行和异面，那么如何判断两条直线是异面直线呢？【师生互动】教师通过反证法来介绍异面直线的判定定理，学生根据定理三种不同表述形式进行理解：

问题2:我们知道,在同一平面内,我们可以通过夹角来刻画一条直线相对于另一条直线的倾斜程度.那么,空间中如何刻画两条异面直线的位置关系呢?

【师生互动】教师引导学生回顾在平面内如何刻画一条直线相对于另一条直线的倾斜程度.学生思考、整理结论:在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于的角称为它们的夹角.

设计意图:开门见山,学习本课的基础知识,为求异面直线所成的角和异面直线互相垂直打下基础.

二、问题提出

【师生互动】教师引导学生思考,如图,正方体-中异面直线与与的错开程度可以怎样来判断?学生思考、交流.

设计意图:从学生熟悉的正方体模型入手,提出问题,激发学生的求知欲.

三、问题猜想

【师生互动】教师通过提问的方式引导学生回顾基本事实4及等角定理,学生在教师的提示下,交流、得出猜想:通过平移转化为相交直线所成的角.

设计意图:通过平移,将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,体会空间问题平面化的思想方法,提升学生的直观想象及逻辑推理核心素养.

四、解决问题

【师生互动】教师介绍异面直线所成的角的概念、异面直线互相垂直、空间中两条直线所成的角的取值范围等知识,学生理解相关知识点.

1.异面直线所成的角:与是异面直线,经过空间任意一点,作直线,我们把直线和所成的锐角(或直角)叫作异面直线所成的角或夹角.

2.异面直线互相垂直:若异面直线所成的角是直角,则称异面直线互相垂直,记作.

3.空间中两条直线所成的角的取值范围:.

设计意图:通过经历前面的活动,得出异面直线所成的角的相关知识,培养学生的空间想象能力和转化化归能力,形成知识体系,提升学生的直观想象数学学科素养.

五、典例分析

【师生互动】教师投影例题,学生分析、尝试,独立给出答案,教师指出学生解答过程中存在的问题,并引导学生对例3的第(3)问进行一题多解.

例1如图,已知正方体.

(1)哪些棱所在的直线与直线垂直?

(2)求直线和所成的角.

(3)求直线和所成的角.

解棱所在的直线分别与直线垂直.

(2)因为是正方体,所以,因此为直线与所成的角.又易知,所以直线与的夹角等于.

(3)如图,连接.因为是正方体,所以与平行且相等,从而四边形是平行四边形,所以.于是为异面直线与所成的角.

连接,因为都是正方体的面对角线,所以,所以是等边三角形,所以.从而异面直线与所成的角等于.

例2如图,在正方体中,为底面的中点.求证:.

证明如图(2)，连接.

因为是正方体,

所以与平行且相等.

所以四边形是平行四边形.

所以.

所以直线与所成的角即为直线与所成的角.

连接,易证.

又为底面的中心,

所以为的中点,

所以.所以.

例3已知是棱长为的正方体（如图）.

(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线？

(2)求证:直线与垂直.

(3)求直线与的夹角.

解(1)正方体共有12条棱,与相交的棱有6条,与平行的棱不存在.因此余下的6条棱所在直线分别与直线是异面直线,它们是,.

(2)因为,

所以与的夹角就是与的夹角.

因为,

所以.

（3）连接,因为,所以四边形是平行四边形,故,从而与的夹角就是与的夹角.

连接.

因为与都是正方体的面对角线,

所以,

故是正三角形.

因此,与的夹角为,即与的夹角为.

另解:将平移至,则即为所求,度数为.

设计意图：通过例题的剖析，加深学生对异面直线所成的角的理解通过对例3第（3）问的一题多解，帮助学生体会平移问题的灵活性，培养学生知识迁移能力、空间想象能力和发散思想能力，培养思维严谨性，固化知识，提升能力.

六、归纳总结与布置作业

【师生互动】学生归纳、总结课堂内容及数学思想，教师补充完善并布置作业

作业：教材第162~163页练习第5，6，7题.

设计意图：回顾、反思、归纳知识，提升学生自我整合知识的能力.

板书设计

第2课时异面直线

1.定理

过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线

2.异面直线所成的角的概念

(1)定义:与是异面直线,经过空间任意一点,作直线,我们把直线和所成的锐角(或直角)叫作异面直线所成的角或夹角

(2)若异面直线所成的角是直角,则称异面直线互相垂直,记作

(3)空间中两条直线所成的角的取值范围:

3.例题

例1

例2

例3

4.小结与作业

教学研