《提分练习2 二元一次方程组的六种特殊解法》.docxVIP

《提分练习2二元一次方程组的六种特殊解法》

典例剖析

例【巧解题】阅读例子：

已知关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解

解：方程组，

可化为

因为关于x，y的方程组的解为，

所以，所以.

所以关于x，y的方程组的解是.

对上面例子认真阅读后，解决下面的问题：已知关于x，y的方程组的解是.

求关于x，y的方程组的解.

解题秘方：解此题的关键是构造出与已知方程组具有相同结构特征的方程组，然后利用已知方程组的解求出待求方程组的解.本题难点在于根据题中的例子得出求解方法，对于需求解的方程组，用阅读类比法得其不含未知数的项要化成和已知解的方程组不含未知数的项相同，然后让需求解方程组含未知数的项除去与已知解方程组中相同的系数后的部分等于已知方程组的解，进而求出需求解的方程组的解.

解：方程组，

可化为

因为关于x，y的方程组的解为，

所以，所以.

所以关于x，y的方程组的解是.

分类训练

解法1用整体代入法解二元一次方程组

1.解方程组：.

2.解方程组.

解法2用特殊消元法解二元一次方程组

类型1方程组中两未知数的对应系数之差的绝对值相等

3.解方程组：.

类型2方程组中两未知数的对应系数之和的绝对值相等

4.解方程组：.

解法3用换元法解二元一次方程组

5.解方程组：

解法4用同解交换法解二元一次方程组

6.已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求

的值.

解法5用主元法解方程组

7.已知(x，y，z均不为0)，求的值.

解法6用设辅助元法解方程组

8.解方程组：.

参考答案

1.解：①×3，得9x-3y=6.③

将②变形为(9x-3y)+11y=17.④

将③代入④，得6+11y=17，解得y=1.

把y=1代入①，得x=1.

所以原方程组的解为

点拨：本题不是直接消元，而是先将①变形，再整体代入②变形后的式子，使解方程组更简单.

2.思路导引：观察本题方程①②中都含有2x+y的项，我们可以把它看成一个整体，由①求出2x+y的值，代入②可求得x的值，

解：由①，得2x+y=6.③

将③代入②得，，解得x=4.

把x=4代入③，得2×4+y=6，解得y=-2.

所以原方程组的解为，

点拨：解题时要根据方程组的结构特点选择适当的方法，本题中，通过“整体”代入法达到简化解题过程的目的.

3.解：②-①，得x+y=1.③

由③，得x=1-y.④

把④代入①，得2021(1-y)+2022y=2023.

解这个方程，得y=2.

把y=2代入④，得x=-1.

所以原方程组的解为

点拨：观察方程①和②的系数特点，数值都比较大，如果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大，而且容易出现计算错误.根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法求解，更为简便.

4.解：①+②，得27x+27y=81.

化简，得x+y=3.③

①-②，得-x+y=-1.④，

③+④，得2y=2，即y=1.

③-④，得2x=4，即x=2.

所以原方程组的解是.

点拨：方程组中x的系数分别为13，14，y的系数分别为14，13.当两式相加时，x和y的系数相等，化简即可得到x+y=3；当两式相减时，x和y的系数互为相反数，可得到-x+y=-1.由此达到化简方程组的目的.

5.解：设x+y=m，x-y=n，则原方程组可转化为，解得.

所以，解得，

所以原方程组的解为.

点拨：本题先化简，再解方程组比较麻烦，通过观察方程组的特点，将x+y，x-y分别看成一个整体，用换元法解方程组更简便.

6.解：依题意有(1)，

(2)，且两个方程组的解相同.

解方程组(1)，得，代入(2)得，解得，

所以.

7.解：将原方程组变形，得，解得.

所以

点拨：本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数.

8.解：设x=2k，则y=3k，代入②，得4×2k-3×3k=3，解得k=-3.

所以x=-6，y=-9.

所以原方程组的解为

点拨：当方程组中的某一个方程缺少常数项或方程是关于两未知数的比例式时，可设辅助元解之.