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江苏省扬州市江都区大桥高中2023届高三下学期第一次月考(数学试题-理)试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.三棱锥的各个顶点都在求的表面上,且是等边三角形,底面,,,若点在线段上,且,则过点的平面截球所得截面的最小面积为()
A. B. C. D.
2.公差不为零的等差数列{an}中,a1+a2+a5=13,且a1、a2、a5成等比数列,则数列{an}的公差等于()
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图,在中,点,分别为,的中点,若,,且满足,则等于()
A.2 B. C. D.
4.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一,其内容是:一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和,也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的,我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和,则拆成的和式中,加数全部为质数的概率为()
A. B. C. D.
5.已知是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,下列命题正确的是()
A.若,,,,则
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,,,则
6.已知实数满足约束条件,则的最小值是
A. B. C.1 D.4
7.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为()
A. B. C. D.
8.在正方体中,,分别为,的中点,则异面直线,所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
9.已知三棱柱的所有棱长均相等,侧棱平面,过作平面与平行,设平面与平面的交线为,记直线与直线所成锐角分别为,则这三个角的大小关系为()
A. B.
C. D.
10.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,则a,b,c的大小关系为()
A.b>c>a B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c
11.已知集合,,,则的子集共有()
A.个 B.个 C.个 D.个
12.命题:存在实数,对任意实数,使得恒成立;:,为奇函数,则下列命题是真命题的是()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设为数列的前项和,若,,且,,则________.
14.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是__________元.
15.的展开式中,的系数为____________.
16.已知,则__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在数列中,,
(1)求数列的通项公式;
(2)若存在,使得成立,求实数的最小值
18.(12分)已知函数.
(1)若,求不等式的解集;
(2)已知,若对于任意恒成立,求的取值范围.
19.(12分)数列满足,,其前n项和为,数列的前n项积为.
(1)求和数列的通项公式;
(2)设,求的前n项和,并证明:对任意的正整数m、k,均有.
20.(12分)已知函数,.
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)若,当时,函数,求函数的最小值.
21.(12分)如图,在三棱柱中,平面ABC.
(1)证明:平面平面
(2)求二面角的余弦值.
22.(10分)设为实数,在极坐标系中,已知圆()与直线相切,求的值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.A
【解析】
由题意画出图形,求出三棱锥S-ABC的外接球的半径,再求出外接球球心到D的距离,利用勾股定理求得过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径,则答案可求.
【详解】
如图,设三角形ABC外接圆的圆心为G,则外接圆半径AG=,
设三棱锥S-ABC的外接球的球心为O,则外接球的半径R=
取SA中点E,由SA=4,AD=3SD,得DE=1,
所以OD=.
则过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径为
所以过点D的平面截球O所得截面的最小面积为
故选:A
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球问题,还
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